tf.contrib.distributions.VectorLaplaceDiag

Векторизованное распределение Лапласа на R^k.

tf.contrib.distributions.VectorLaplaceDiag(
    loc=None, scale_diag=None, scale_identity_multiplier=None, validate_args=False,
    allow_nan_stats=True, name='VectorLaplaceDiag'
)

Векторное распределение Лапласа определено над R^k, и параметризовано вектором (пачкой) длины k loc (средние значения) и матрицей (пачкой) k x k scale: covariance = 2 * scale @ scale.T, где @ обозначает матричное умножение.

Математические детали

Функция плотности вероятности (pdf) имеет вид,

pdf(x; loc, scale) = exp(-||y||_1) / Z,
y = inv(scale) @ (x - loc),
Z = 2**k |det(scale)|,

где:

• loc — вектор в R^k,
• scale — линейный оператор в R^{k x k}, cov = scale @ scale.T,
• Z обозначает константу нормировки, и,
• ||y||_1 обозначает l1 норму y, `sum_i |y_i|.

Матрица (без пачки) scale имеет вид:

scale = diag(scale_diag + scale_identity_multiplier * ones(k))

где:

• scale_diag.shape = [k], и,
• scale_identity_multiplier.shape = [].

Дополнительные ведущие размерности (если таковые имеются) будут индексировать пакеты.

Если и scale_diag, и scale_identity_multiplier являются None, то scale — это единичная матрица.

Распределение VectorLaplace является членом семьи локализации-масштаба, т.е. его можно построить как,

X = (X_1, ..., X_k), each X_i ~ Laplace(loc=0, scale=1)
Y = (Y_1, ...,Y_k) = scale @ X + loc

О распределениях VectorLaplace и Vector в TensorFlow.

Распределение VectorLaplace является нестандартным распределением, обладающим полезными свойствами.

Маргинальные распределения Y_1, ..., Y_k не являются случайными переменными Лапласа, поскольку сумма случайных переменных Лапласа не является переменной Лапласа.

Вместо этого Y — это вектор, компоненты которого являются линейными комбинациями случайных переменных Лапласа. Таким образом, Y находится в векторном пространстве, порожденном vectors распределений Лапласа. Это позволяет пользователю задавать среднее значение и ковариацию (устанавливая loc и scale), сохраняя при этом некоторые свойства распределения Лапласа. В частности, хвосты Y_i будут (с точностью до полиномиальных множителей) экспоненциально убывать.

Чтобы увидеть последнее утверждение, обратите внимание, что функция плотности вероятности Y_i является свёрткой функций плотности вероятности k независимых случайных переменных Лапласа. Затем можно показать по индукции, что распределения с экспоненциально (с точностью до полиномиальных множителей) убывающими хвостами замкнуты относительно свёртки.

Примеры

import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

# Initialize a single 2-variate VectorLaplace.
vla = tfd.VectorLaplaceDiag(
    loc=[1., -1],
    scale_diag=[1, 2.])

vla.mean().eval()
# ==> [1., -1]

vla.stddev().eval()
# ==> [1., 2] * sqrt(2)

# Evaluate this on an observation in `R^2`, returning a scalar.
vla.prob([-1., 0]).eval()  # shape: []

# Initialize a 3-batch, 2-variate scaled-identity VectorLaplace.
vla = tfd.VectorLaplaceDiag(
    loc=[1., -1],
    scale_identity_multiplier=[1, 2., 3])

vla.mean().eval()  # shape: [3, 2]
# ==> [[1., -1]
#      [1, -1],
#      [1, -1]]

vla.stddev().eval()  # shape: [3, 2]
# ==> sqrt(2) * [[1., 1],
#                [2, 2],
#                [3, 3]]

# Evaluate this on an observation in `R^2`, returning a length-3 vector.
vla.prob([-1., 0]).eval()  # shape: [3]

# Initialize a 2-batch of 3-variate VectorLaplace's.
vla = tfd.VectorLaplaceDiag(
    loc=[[1., 2, 3],
         [11, 22, 33]]           # shape: [2, 3]
    scale_diag=[[1., 2, 3],
                [0.5, 1, 1.5]])  # shape: [2, 3]

# Evaluate this on a two observations, each in `R^3`, returning a length-2
# vector.
x = [[-1., 0, 1],
     [-11, 0, 11.]]   # shape: [2, 3].
vla.prob(x).eval()    # shape: [2]

Методы

batch_shape_tensor

Просмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одного индекса события в виде одномерного Tensor.

Размеры пакета — это индексы в независимых, не идентичных параметризациях этого распределения.

cdf

Просмотреть исходный код

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf задаётся:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Просмотреть исходный код

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создаёт глубокую копию распределения.

Примечание: распределение копии может по-прежнему зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Просмотреть исходный код

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация (возможно) определена только для распределений со значениями не скаляров.

Например, для распределения длиной k, векторного распределения, она рассчитывается как,

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov — (пакет) k x k матрица, 0 <= (i, j) < k, и E обозначает математическое ожидание.

В качестве альтернативы, для не векторных, многомерных распределений (например, матричного, Вишарта), Covariance возвращает (пакет) матриц в рамках некоторой векторизации событий, т.е.

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov — (пакет) k' x k' матриц, 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), и Vec — некоторая функция, сопоставляющая индексы размерностей события этого распределения с индексами вектора длиной k'.

cross_entropy

Просмотреть исходный код

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисляет кросс-энтропию (Шеннона).

Обозначим данное распределение (self) как P и распределение other как Q. Предполагая, что P, Q абсолютно непрерывны относительно друг друга и допускают плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), (шэннонская) кросс-энтропия определяется как:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает область определения случайной величины X ~ P.

entropy

Просмотреть исходный код

entropy(
    name='entropy'
)

Энтропия Шеннона в натах.

event_shape_tensor

Просмотреть исходный код

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одной группы как целочисленное 1-мерное значение типа int32 Tensor.

is_scalar_batch

Просмотреть исходный код

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

is_scalar_event

Просмотреть исходный код

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

kl_divergence

Просмотреть исходный код

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисляет расхождение Кульбака—Лейблера.

Обозначим данное распределение (self) как p и распределение other как q. Предполагая, что p, q абсолютно непрерывны относительно меры отсчёта r, расхождение Кульбака—Лейблера определяется как:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает область определения случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает (шэннонскую) кросс-энтропию, а H[.] обозначает (шэннонскую) энтропию.

log_cdf

Просмотреть исходный код

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифмическая функция кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто для log_cdf(x) используется численное приближение, которое даёт более точный результат, чем просто взятие логарифма cdf при x << -1.

log_prob

Просмотреть исходный код

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифмическая плотность/масса вероятности.

Дополнительная документация из VectorLaplaceLinearOperator:

value — это пакетный вектор с совместимой формой, если value — Tensor, форма которого может быть расширена до:

self.batch_shape + self.event_shape

или

[M1, ..., Mm] + self.batch_shape + self.event_shape

log_survival_function

Просмотреть исходный код

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифмическая функция выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется как:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Обычно для логарифмической функции выживания используются различные численные приближения, которые более точные, чем 1 - cdf(x) при x >> 1.

mean

Просмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Среднее значение.

mode

Просмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

param_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров, заданных желаемой формой вызова sample().

Это метод класса, описывающий пары «ключ-значение», необходимые для создания экземпляра данного Distribution, чтобы при вызове метода sample() экземпляра возвращалась определенная форма.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes.

param_static_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes со статическими (т.е. TensorShape) формами.

Это метод класса, описывающий пары «ключ-значение», необходимые для создания экземпляра данного Distribution, чтобы при вызове метода sample() экземпляра возвращалась определенная форма. Предполагается, что форма выборки известна статически.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes для возврата тензоров с постоянными значениями при подаче постоянных значений.

prob

Просмотреть исходный код

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности/массы вероятности.

Дополнительная документация из VectorLaplaceLinearOperator:

value — это пакетный вектор с совместимой формой, если value — Tensor с формой, которую можно расширить до:

self.batch_shape + self.event_shape

или

[M1, ..., Mm] + self.batch_shape + self.event_shape

quantile

Просмотреть исходный код

quantile(
    value, name='quantile'
)

Функция квантиля. Также известна как «обратная функция распределения» или «функция процентиля».

Для случайной величины X и p in [0, 1] quantile равно:

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

sample

Просмотреть исходный код

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Генерирует выборки указанной формы.

Обратите внимание, что вызов sample() без аргументов сгенерирует одну выборку.

stddev

Просмотреть исходный код

stddev(
    name='stddev'
)

Среднеквадратичное отклонение.

Среднеквадратичное отклонение определяется как,

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E — математическое ожидание, а stddev.shape = batch_shape + event_shape.

survival_function

Просмотреть исходный код

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживаемости.

Для случайной величины X, функция выживаемости определяется как:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

variance

Просмотреть исходный код

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется как,

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E — математическое ожидание, а Var.shape = batch_shape + event_shape.