tf.contrib.distributions.WishartCholesky

Матричное распределение Вишарта на положительно определённых матрицах.

tf.contrib.distributions.WishartCholesky(
    df, scale, cholesky_input_output_matrices=False, validate_args=False,
    allow_nan_stats=True, name='WishartCholesky'
)

Это распределение определяется скалярной степенью свободы df и нижней, треугольной факторизацией Холецкого, которая характеризует матрицу масштаба.

Использование WishartCholesky — это улучшение с постоянной скоростью по сравнению с WishartFull. Оно экономит операцию O(nbk^3), то есть операцию умножения матриц для выборки и факторизации Холецкого в log_prob. В большинстве случаев это часто экономит ещё одну операцию O(nbk^3), так как большинство случаев использования Wishart также используют факторизацию Холецкого.

Математические подробности

Функция плотности вероятности (pdf) равна,

pdf(X; df, scale) = det(X)**(0.5 (df-k-1)) exp(-0.5 tr[inv(scale) X]) / Z
Z = 2**(0.5 df k) |det(scale)|**(0.5 df) Gamma_k(0.5 df)

где:

• df >= k обозначает степень свободы,
• scale является симметричной, положительно определённой k x k матрицей,
• Z является нормирующей константой, и,
• Gamma_k является многомерной гамма-функцией.

Примеры

import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

# Initialize a single 3x3 Wishart with Cholesky factored scale matrix and 5
# degrees-of-freedom.(*)
df = 5
chol_scale = tf.linalg.cholesky(...)  # Shape is [3, 3].
dist = tfd.WishartCholesky(df=df, scale=chol_scale)

# Evaluate this on an observation in R^3, returning a scalar.
x = ...  # A 3x3 positive definite matrix.
dist.prob(x)  # Shape is [], a scalar.

# Evaluate this on a two observations, each in R^{3x3}, returning a length two
# Tensor.
x = [x0, x1]  # Shape is [2, 3, 3].
dist.prob(x)  # Shape is [2].

# Initialize two 3x3 Wisharts with Cholesky factored scale matrices.
df = [5, 4]
chol_scale = tf.linalg.cholesky(...)  # Shape is [2, 3, 3].
dist = tfd.WishartCholesky(df=df, scale=chol_scale)

# Evaluate this on four observations.
x = [[x0, x1], [x2, x3]]  # Shape is [2, 2, 3, 3].
dist.prob(x)  # Shape is [2, 2].

# (*) - To efficiently create a trainable covariance matrix, see the example
#   in tfp.distributions.matrix_diag_transform.

Методы

batch_shape_tensor

Посмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одного индекса события как одномерный Tensor.

Размерности партии — индексы независимых, нетождественных параметризаций этого распределения.

cdf

Посмотреть исходный код

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf равна:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Посмотреть исходный код

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создаёт глубокую копию распределения.

Примечание: распределение копии может по-прежнему зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Посмотреть исходный код

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация определена (возможно) только для распределений, не являющихся скалярными событиями.

Например, для распределения со значениями в длине k, вектор-значное распределение вычисляется как,

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov — (партный) k x k матрица, 0 <= (i, j) < k, а E обозначает математическое ожидание.

В альтернативном варианте, для не векторных, многомерных распределений (например, матричных, Вишарта), Covariance возвращает (партные) матрицы при определенной векторизации событий, то есть,

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov — (партные) k' x k' матрицы, 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), а Vec — некоторая функция, отображающая индексы размерностей событий этого распределения в индексы векторной длины k'.

cross_entropy

Посмотреть исходный код

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисляет кросс-энтропию (Шеннона).

Обозначим это распределение (self) как P и распределение other как Q. Предполагая, что P, Q абсолютно непрерывны относительно друг друга и допускают плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), (Шеннона) кросс-энтропия определяется как:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает область определения случайной величины X ~ P.

entropy

Просмотреть исходный код

entropy(
    name='entropy'
)

Энтропия Шеннона в натах.

event_shape_tensor

Просмотреть исходный код

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одной группы в виде целочисленного массива 1-D int32 Tensor.

is_scalar_batch

Просмотреть исходный код

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

is_scalar_event

Просмотреть исходный код

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

kl_divergence

Просмотреть исходный код

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисляет расхождение Кульбака-Лейблера.

Обозначим это распределение (self) как p и распределение other как q. Предполагая, что p, q абсолютно непрерывны относительно меры отсчета r, расхождение Кульбака-Лейблера определяется как:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает область определения случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает (энтропию Шеннона) кросс-энтропию, а H[.] обозначает (энтропию Шеннона).

log_cdf

Просмотреть исходный код

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифмическая кумулятивная функция распределения.

Для случайной величины X, кумулятивная функция распределения cdf равна:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто для log_cdf(x) можно использовать численное приближение, которое даёт более точный результат, чем просто взятие логарифма cdf при x << -1.

log_normalization

Просмотреть исходный код

log_normalization(
    name='log_normalization'
)

Вычисляет логарифм нормализующей константы, log(Z).

log_prob

Просмотреть исходный код

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифм плотности/массы вероятности.

log_survival_function

Просмотреть исходный код

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифмическая функция выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется следующим образом:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Обычно для логарифмической функции выживания можно использовать различные численные приближения, которые более точны, чем 1 - cdf(x) при x >> 1.

mean

Просмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Среднее значение.

mean_log_det

Просмотреть исходный код

mean_log_det(
    name='mean_log_det'
)

Вычисляет E[log(det(X))] для данного распределения Вишарта.

mode

Просмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

param_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров, заданных желаемой формой вызова sample().

Это метод класса, который описывает, какие аргументы ключ/значение необходимы для создания данного Distribution, чтобы для вызова sample() этого экземпляра возвращалась определённая форма.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes.

param_static_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes со статическими (т.е. TensorShape) формами.

Это метод класса, который описывает, какие аргументы ключ/значение необходимы для создания экземпляра данного Distribution, чтобы при вызове sample() для этого экземпляра возвращалась определенная форма. Предполагается, что форма выборки известна статически.

Подклассы должны переопределить метод класса _param_shapes для возврата тензоров с постоянными значениями при подаче постоянных значений.

prob

Просмотреть исходный код

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности/массы вероятности.

quantile

Просмотреть исходный код

quantile(
    value, name='quantile'
)

Функция квантиля. Также известна как «обратная функция распределения» или «функция процентиля».

Для случайной величины X и p in [0, 1], квантиль quantile:

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

sample

Просмотреть исходный код

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Генерация выборок заданной формы.

Обратите внимание, что вызов sample() без аргументов сгенерирует одну выборку.

scale

Просмотреть исходный код

scale()

Матрица масштабирования распределения Вишарта.

stddev

Просмотреть исходный код

stddev(
    name='stddev'
)

Среднеквадратичное отклонение.

Среднеквадратичное отклонение определяется как,

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, и stddev.shape = batch_shape + event_shape.

survival_function

Просмотреть исходный код

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

variance

Просмотреть исходный код

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется как,

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, и Var.shape = batch_shape + event_shape.