tf.linalg.LinearOperatorCirculant

LinearOperator действующий как циркулянтная матрица.

tf.linalg.LinearOperatorCirculant(
    spectrum, input_output_dtype=tf.dtypes.complex64, is_non_singular=None,
    is_self_adjoint=None, is_positive_definite=None, is_square=True,
    name='LinearOperatorCirculant'
)

Этот оператор действует как циркулянтная матрица A с формой [B1,...,Bb, N, N] для некоторого b >= 0. Первые b индексы индексируют элемент набора. Для каждого индекса набора (i1,...,ib), A[i1,...,ib, : :] является N x N матрицей. Эта матрица A не материализуется, но для целей векторизации эта форма будет актуальна.

Описание в терминах циркулянтных матриц

Циркулянт означает, что элементы A генерируются с помощью одного вектора, ядра свертки h: A_{mn} := h_{m-n mod N}. С h = [w, x, y, z],

A = |w z y x|
    |x w z y|
    |y x w z|
    |z y x w|

Это означает, что результат умножения матриц v = Au имеет Lth столбец, заданный круговой сверткой между h и Lth столбцом u.

См. http://ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf

Описание в терминах частотного спектра

Существует эквивалентное описание в терминах [пакета] спектра H и преобразований Фурье. Здесь мы рассматриваем A.shape = [N, N] и игнорируем размерности пакетов. Определим дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и его обратное преобразование:

DFT[ h[n] ] = H[k] := sum_{n = 0}^{N - 1} h_n e^{-i 2pi k n / N}
IDFT[ H[k] ] = h[n] = N^{-1} sum_{k = 0}^{N - 1} H_k e^{i 2pi k n / N}

Из этих определений мы видим, что

H[0] = sum_{n = 0}^{N - 1} h_n
H[1] = "the first positive frequency"
H[N - 1] = "the first negative frequency"

В нестрогом смысле, с * поэлементным умножением, умножение матриц равно действию умножителя Фурье: A u = IDFT[ H * DFT[u] ]. В точном смысле, заданной матрицей [N, R] u, пусть DFT[u] будет [N, R] матрицей с rth столбцом, равным ДПФ rth столбца u. Определим IDFT аналогично. Умножение матриц можно выразить в виде столбцов:

Свойства оператора, выведенные из спектра.

Пусть U — kth единичный вектор, а U = IDFT[u]. Вышеуказанные формулы показывают, что A U = H_k * U. Мы делаем вывод, что элементы H являются собственными значениями этого оператора. Поэтому

• Этот оператор является положительно определенным тогда и только тогда, когда Real{H} > 0.

Общим свойством преобразований Фурье является соответствие между эрмитовыми функциями и вещественными преобразованиями.

Предположим H.shape = [B1,...,Bb, N]. Мы говорим, что H — это эрмитов спектр, если % означает деление по модулю,

• Этот оператор соответствует вещественной матрице тогда и только тогда, когда H является эрмитовой.
• Этот оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда H вещественно.

См., например, «Цифровые сигналы и обработка», Оппенгейм и Шафер.

Пример самосопряженного положительно определенного оператора

# spectrum is real ==> operator is self-adjoint
# spectrum is positive ==> operator is positive definite
spectrum = [6., 4, 2]

operator = LinearOperatorCirculant(spectrum)

# IFFT[spectrum]
operator.convolution_kernel()
==> [4 + 0j, 1 + 0.58j, 1 - 0.58j]

operator.to_dense()
==> [[4 + 0.0j, 1 - 0.6j, 1 + 0.6j],
     [1 + 0.6j, 4 + 0.0j, 1 - 0.6j],
     [1 - 0.6j, 1 + 0.6j, 4 + 0.0j]]

Пример определения в терминах вещественного ядра свертки

# convolution_kernel is real ==> spectrum is Hermitian.
convolution_kernel = [1., 2., 1.]]
spectrum = tf.signal.fft(tf.cast(convolution_kernel, tf.complex64))

# spectrum is Hermitian ==> operator is real.
# spectrum is shape [3] ==> operator is shape [3, 3]
# We force the input/output type to be real, which allows this to operate
# like a real matrix.
operator = LinearOperatorCirculant(spectrum, input_output_dtype=tf.float32)

operator.to_dense()
==> [[ 1, 1, 2],
     [ 2, 1, 1],
     [ 1, 2, 1]]

Пример эрмитова спектра

# spectrum is shape [3] ==> operator is shape [3, 3]
# spectrum is Hermitian ==> operator is real.
spectrum = [1, 1j, -1j]

operator = LinearOperatorCirculant(spectrum)

operator.to_dense()
==> [[ 0.33 + 0j,  0.91 + 0j, -0.24 + 0j],
     [-0.24 + 0j,  0.33 + 0j,  0.91 + 0j],
     [ 0.91 + 0j, -0.24 + 0j,  0.33 + 0j]

Пример принудительного вещественного типа dtype при эрмитовом спектре

# spectrum is shape [4] ==> operator is shape [4, 4]
# spectrum is real ==> operator is self-adjoint
# spectrum is Hermitian ==> operator is real
# spectrum has positive real part ==> operator is positive-definite.
spectrum = [6., 4, 2, 4]

# Force the input dtype to be float32.
# Cast the output to float32.  This is fine because the operator will be
# real due to Hermitian spectrum.
operator = LinearOperatorCirculant(spectrum, input_output_dtype=tf.float32)

operator.shape
==> [4, 4]

operator.to_dense()
==> [[4, 1, 0, 1],
     [1, 4, 1, 0],
     [0, 1, 4, 1],
     [1, 0, 1, 4]]

# convolution_kernel = tf.signal.ifft(spectrum)
operator.convolution_kernel()
==> [4, 1, 0, 1]

Производительность

Предположим, operator — это LinearOperatorCirculant формы [N, N], и x.shape = [N, R]. Тогда

• operator.matmul(x) равно O(R*N*Log[N])
• operator.solve(x) равно O(R*N*Log[N])
• operator.determinant() включает в себя операцию размера N reduce_prod.

Если вместо этого operator и x имеют форму [B1,...,Bb, N, N] и [B1,...,Bb, N, R], каждая операция увеличивает сложность на B1*...*Bb.

Подсказки свойств матриц

Этот LinearOperator инициализируется булевыми флагами формы is_X, для X = non_singular, self_adjoint, positive_definite, square. Они имеют следующее значение:

• Если is_X == True, вызывающие функции должны ожидать, что оператор будет обладать свойством X. Это обещание, которое должно быть выполнено, но это не проверка во время выполнения. Например, конечная точность с плавающей запятой может привести к нарушению этих обещаний.
• Если is_X == False, вызывающие функции должны ожидать, что оператор не будет обладать свойством X.
• Если is_X == None (значение по умолчанию), вызывающие функции не должны иметь ожиданий.

A = |w z y x|
|x w z y|
|y x w z|
|z y x w|

A = |W Z Y X|
|X W Z Y|
|Y X W Z|
|Z Y X W|

Методы

add_to_tensor

Просмотреть исходный код

add_to_tensor(
    x, name='add_to_tensor'
)

Добавить матрицу, представленную этим оператором, к x. Эквивалентно A + x.

adjoint

Просмотреть исходный код

adjoint(
    name='adjoint'
)

Возвращает сопряжённый оператор текущего LinearOperator.

Дано A представляющее этот LinearOperator, вернуть A*. Обратите внимание, что вызов self.adjoint() и self.H эквивалентны.

assert_hermitian_spectrum

Просмотреть исходный код

assert_hermitian_spectrum(
    name='assert_hermitian_spectrum'
)

Возвращает Op , который утверждает, что у этого оператора эрмитова спектр.

Этот оператор соответствует вещественной матрице тогда и только тогда, когда его спектр эрмитов.

assert_non_singular

Просмотреть исходный код

assert_non_singular(
    name='assert_non_singular'
)

Возвращает Op , который утверждает, что этот оператор невырожден.

Этот оператор считается невырожденным, если

ConditionNumber < max{100, range_dimension, domain_dimension} * eps,
eps := np.finfo(self.dtype.as_numpy_dtype).eps

assert_positive_definite

Просмотреть исходный код

assert_positive_definite(
    name='assert_positive_definite'
)

Возвращает Op , который утверждает, что этот оператор положительно определён.

Здесь положительно определённый означает, что квадратичная форма x^H A x имеет положительную действительную часть для всех ненулевых x. Обратите внимание, что для положительной определённости оператор не обязан быть самосопряжённым.

assert_self_adjoint

Просмотреть исходный код

assert_self_adjoint(
    name='assert_self_adjoint'
)

Возвращает Op , который утверждает, что этот оператор самосопряжён.

Здесь проверяется, что этот оператор точно равен своему эрмитовому транспонированию.

batch_shape_tensor

Просмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма пакетных измерений этого оператора, определяемая во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает Tensor , содержащий [B1,...,Bb].

block_shape_tensor

Просмотреть исходный код

block_shape_tensor()

Форма блочных измерений self.spectrum.

cholesky

Просмотреть исходный код

cholesky(
    name='cholesky'
)

Возвращает фактор Холецкого в виде LinearOperator.

Дано A представляющее этот LinearOperator, если A положительно определён и самосопряжён, вернуть L, где A = L L^T, т.е. разложение Холецкого.

convolution_kernel

Просмотреть исходный код

convolution_kernel(
    name='convolution_kernel'
)

Ядро свертки, соответствующее self.spectrum.

Двухмерное ДПФ (дискретное преобразование Фурье) этого ядра является спектром этого оператора в частотной области.

determinant

Просмотреть исходный код

determinant(
    name='det'
)

Определитель для каждого элемента пакета.

diag_part

Просмотреть исходный код

diag_part(
    name='diag_part'
)

Эффективный способ получить [пакетный] диагональный элемент этого оператора.

Если у этого оператора форма [B1,...,Bb, M, N], это возвращает Tensor diagonal, формы [B1,...,Bb, min(M, N)], где diagonal[b1,...,bb, i] = self.to_dense()[b1,...,bb, i, i].

my_operator = LinearOperatorDiag([1., 2.])

# Efficiently get the diagonal
my_operator.diag_part()
==> [1., 2.]

# Equivalent, but inefficient method
tf.linalg.diag_part(my_operator.to_dense())
==> [1., 2.]

domain_dimension_tensor

Просмотреть исходный код

domain_dimension_tensor(
    name='domain_dimension_tensor'
)

Размерность (в смысле векторных пространств) области определения этого оператора.

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает N.

inverse

Просмотреть исходный код

inverse(
    name='inverse'
)

Возвращает обратную матрицу этого LinearOperator.

Учитывая A, представляющий этот LinearOperator, вернуть LinearOperator, представляющий A^-1.

log_abs_determinant

Просмотреть исходный код

log_abs_determinant(
    name='log_abs_det'
)

Логарифм абсолютного значения определителя для каждого элемента пакета.

matmul

Просмотреть исходный код

matmul(
    x, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='matmul'
)

Преобразование [пакетной] матрицы x с левым умножением: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

X = ... # shape [..., N, R], batch matrix, R > 0.

Y = operator.matmul(X)
Y.shape
==> [..., M, R]

Y[..., :, r] = sum_j A[..., :, j] X[j, r]

matvec

Просмотреть исходный код

matvec(
    x, adjoint=False, name='matvec'
)

Преобразование [пакетного] вектора x с левым умножением: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matric A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)

X = ... # shape [..., N], batch vector

Y = operator.matvec(X)
Y.shape
==> [..., M]

Y[..., :] = sum_j A[..., :, j] X[..., j]

range_dimension_tensor

Просмотреть исходный код

range_dimension_tensor(
    name='range_dimension_tensor'
)

Размерность (в смысле векторных пространств) области значений этого оператора.

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает M.

shape_tensor

Просмотреть исходный код

shape_tensor(
    name='shape_tensor'
)

Форма этого LinearOperator, определённая во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает Tensor , содержащую [B1,...,Bb, M, N], эквивалентную tf.shape(A).

solve

Просмотреть исходный код

solve(
    rhs, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='solve'
)

Решить (точно или приближённо) R (пакетные) системы уравнений: A X = rhs.

Возвращённое значение будет близко к точному решению, если A хорошо обусловлено. В противном случае близость будет варьироваться. Смотрите строку документации класса для подробностей.

Примеры:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve R > 0 linear systems for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M, R]

X = operator.solve(RHS)
# X[..., :, r] is the solution to the r'th linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j, r] = RHS[..., :, r]

operator.matmul(X)
==> RHS

solvevec

Просмотреть исходный код

solvevec(
    rhs, adjoint=False, name='solve'
)

Решить единственное уравнение с максимальной точностью: A X = rhs.

Возвращённое значение Tensor будет близко к точному решению, если A хорошо обусловлено. В противном случае близость будет меняться. Подробности см. в документации класса.

Examples:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve one linear system for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M]

X = operator.solvevec(RHS)
# X is the solution to the linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j] = RHS[..., :]

operator.matvec(X)
==> RHS

tensor_rank_tensor

Просмотреть исходный код

tensor_rank_tensor(
    name='tensor_rank_tensor'
)

Ранг (в смысле тензоров) матрицы, соответствующей этому оператору.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то он возвращает b + 2.

to_dense

Просмотреть исходный код

to_dense(
    name='to_dense'
)

Возвращает плотную (пакетную) матрицу, представляющую этот оператор.

trace

Просмотреть исходный код

trace(
    name='trace'
)

След линейного оператора, равный сумме self.diag_part().

Если оператор квадратный, то это также сумма собственных значений.