tf.linalg.LinearOperatorCirculant2D

LinearOperator, подобно блочно-циркулярной матрице.

tf.linalg.LinearOperatorCirculant2D(
    spectrum, input_output_dtype=tf.dtypes.complex64, is_non_singular=None,
    is_self_adjoint=None, is_positive_definite=None, is_square=True,
    name='LinearOperatorCirculant2D'
)

Этот оператор ведет себя как блочно-циркулярная матрица A с формой [B1,...,Bb, N, N] для некоторых b >= 0. Первые b индексы индексируют элемент пакета. Для каждого индекса пакета (i1,...,ib), A[i1,...,ib, : :] — это N x N матрица. Эта матрица A не материализуется, но для целей векторизации эта форма будет актуальна.

Описание в терминах блочно-циркулярных матриц

Если A — это блочно-циркулярная матрица с размерами блоков N0, N1 (N0 * N1 = N): A имеет структуру блочно-циркулярной матрицы, состоящую из N0 x N0 блоков, причём каждый блок является N1 x N1 циркулярной матрицей.

Например, при W, X, Y, Z, каждая циркулярная,

A = |W Z Y X|
    |X W Z Y|
    |Y X W Z|
    |Z Y X W|

Обратите внимание, что A вообще говоря, не будет циркулярной.

Описание в терминах частотного спектра

Существует эквивалентное описание в терминах [пакетного] спектра H и преобразований Фурье. Здесь мы рассматриваем A.shape = [N, N] и игнорируем размерности пакетов.

Если H.shape = [N0, N1], (N0 * N1 = N): Грубо говоря, умножение матриц равно действию множителя Фурье: A u = IDFT2[ H DFT2[u] ]. Строго говоря, задана [N, R] матрица u, пусть DFT2[u] — это [N0, N1, R] Tensor, определённое переформированием u в [N0, N1, R] и применением двумерного ДПФ к двум первым размерностям. Пусть IDFT2 — обратное к DFT2. Умножение матриц может быть выражено по столбцам:

Свойства оператора, выведенные из спектра.

• Этот оператор положительно определён тогда и только тогда, когда Real{H} > 0.

Общим свойством преобразований Фурье является соответствие между эрмитовыми функциями и вещественнозначными преобразованиями.

Предположим H.shape = [B1,...,Bb, N0, N1], мы говорим, что H — это эрмитов спектр, если с %, обозначающим деление по модулю,

H[..., n0 % N0, n1 % N1] = ComplexConjugate[ H[..., (-n0) % N0, (-n1) % N1 ].

• Этот оператор соответствует вещественной матрице тогда и только тогда, когда H является эрмитовой.
• Этот оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда H является вещественным.

См., например, «Обработка дискретных сигналов», Оппенгейм и Шафер.

Пример самосопряжённого положительно определённого оператора

# spectrum is real ==> operator is self-adjoint
# spectrum is positive ==> operator is positive definite
spectrum = [[1., 2., 3.],
            [4., 5., 6.],
            [7., 8., 9.]]

operator = LinearOperatorCirculant2D(spectrum)

# IFFT[spectrum]
operator.convolution_kernel()
==> [[5.0+0.0j, -0.5-.3j, -0.5+.3j],
     [-1.5-.9j,        0,        0],
     [-1.5+.9j,        0,        0]]

operator.to_dense()
==> Complex self adjoint 9 x 9 matrix.

Пример определения через вещественное ядро свёртки,

# convolution_kernel is real ==> spectrum is Hermitian.
convolution_kernel = [[1., 2., 1.], [5., -1., 1.]]
spectrum = tf.signal.fft2d(tf.cast(convolution_kernel, tf.complex64))

# spectrum is shape [2, 3] ==> operator is shape [6, 6]
# spectrum is Hermitian ==> operator is real.
operator = LinearOperatorCirculant2D(spectrum, input_output_dtype=tf.float32)

Производительность

Предположим operator — это LinearOperatorCirculant с формой [N, N], и x.shape = [N, R]. Тогда

• operator.matmul(x) является O(R*N*Log[N])
• operator.solve(x) является O(R*N*Log[N])
• operator.determinant() включает в себя размер N reduce_prod.

Если вместо этого operator и x имеют форму [B1,...,Bb, N, N] и [B1,...,Bb, N, R], каждая операция увеличивает сложность на B1*...*Bb.

Рекомендации по свойствам матрицы

Этот LinearOperator инициализируется булевыми флагами вида is_X, для X = non_singular, self_adjoint, positive_definite, square. Они имеют следующие значения:

• Если is_X == True, вызывающие стороны должны ожидать, что оператор обладает свойством X. Это обещание, которое должно быть выполнено, но это не утверждение во время выполнения. Например, конечная точность с плавающей запятой может привести к нарушению этих обещаний.
• Если is_X == False, вызывающие стороны должны ожидать, что оператор не обладает свойством X.
• Если is_X == None (по умолчанию), вызывающие стороны не должны ожидать ничего.

A = |w z y x|
|x w z y|
|y x w z|
|z y x w|

A = |W Z Y X|
|X W Z Y|
|Y X W Z|
|Z Y X W|

Методы

add_to_tensor

Просмотреть исходный код

add_to_tensor(
    x, name='add_to_tensor'
)

Добавить матрицу, представленную этим оператором, к x. Эквивалентно A + x.

adjoint

Просмотр исходного кода

adjoint(
    name='adjoint'
)

Возвращает сопряжённое значение текущего LinearOperator.

Учитывая A, представляющее это LinearOperator, вернуть A*. Обратите внимание, что вызов self.adjoint() и self.H эквивалентны.

assert_hermitian_spectrum

Просмотр исходного кода

assert_hermitian_spectrum(
    name='assert_hermitian_spectrum'
)

Возвращает Op, который утверждает, что у этого оператора спектр Эрмита.

Этот оператор соответствует вещественной матрице только в том случае, если её спектр является эрмитовым.

assert_non_singular

Просмотр исходного кода

assert_non_singular(
    name='assert_non_singular'
)

Возвращает Op, который утверждает, что этот оператор невырожден.

Этот оператор считается невырожденным, если

ConditionNumber < max{100, range_dimension, domain_dimension} * eps,
eps := np.finfo(self.dtype.as_numpy_dtype).eps

assert_positive_definite

Просмотр исходного кода

assert_positive_definite(
    name='assert_positive_definite'
)

Возвращает Op, который утверждает, что этот оператор положительно определён.

Здесь положительно определённый означает, что квадратичная форма x^H A x имеет положительную действительную часть для всех ненулевых x. Обратите внимание, что мы не требуем, чтобы оператор был самосопряжённым, чтобы быть положительно определённым.

assert_self_adjoint

Просмотр исходного кода

assert_self_adjoint(
    name='assert_self_adjoint'
)

Возвращает Op, который утверждает, что этот оператор самосопряжён.

Здесь мы проверяем, что этот оператор точно равен своему эрмитовому транспонированию.

batch_shape_tensor

Просмотр исходного кода

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма пакетных измерений этого оператора, определяемая во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает Tensor, содержащий [B1,...,Bb].

block_shape_tensor

Просмотр исходного кода

block_shape_tensor()

Форма блочных измерений self.spectrum.

cholesky

Просмотр исходного кода

cholesky(
    name='cholesky'
)

Возвращает фактор Холецкого в виде LinearOperator.

Учитывая A, представляющее это LinearOperator, если A является положительно определённой самосопряжённой матрицей, вернуть L, где A = L L^T, то есть разложение Холецкого.

convolution_kernel

Просмотр исходного кода

convolution_kernel(
    name='convolution_kernel'
)

Ядро свертки, соответствующее self.spectrum.

D-мерное ДФТ этого ядра — это спектр оператора в частотной области.

determinant

Просмотр исходного кода

determinant(
    name='det'
)

Определитель для каждого члена пакета.

diag_part

Просмотр исходного кода

diag_part(
    name='diag_part'
)

Эффективно получить [пакетную] диагональную часть этого оператора.

Если у этого оператора есть форма [B1,...,Bb, M, N], это возвращает Tensor diagonal, с формой [B1,...,Bb, min(M, N)], где diagonal[b1,...,bb, i] = self.to_dense()[b1,...,bb, i, i].

my_operator = LinearOperatorDiag([1., 2.])

# Efficiently get the diagonal
my_operator.diag_part()
==> [1., 2.]

# Equivalent, but inefficient method
tf.linalg.diag_part(my_operator.to_dense())
==> [1., 2.]

domain_dimension_tensor

Просмотр исходного кода

domain_dimension_tensor(
    name='domain_dimension_tensor'
)

Размерность (в смысле векторных пространств) области определения этого оператора.

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает N.

inverse

Просмотреть исходный код

inverse(
    name='inverse'
)

Возвращает обратную матрицу этой LinearOperator.

Учитывая A, представляющую эту LinearOperator, вернуть LinearOperator, представляющую A^-1.

log_abs_determinant

Просмотреть исходный код

log_abs_determinant(
    name='log_abs_det'
)

Логарифм абсолютного значения определителя для каждого члена пакета.

matmul

Просмотреть исходный код

matmul(
    x, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='matmul'
)

Преобразование [пакетной] матрицы x с левым умножением: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

X = ... # shape [..., N, R], batch matrix, R > 0.

Y = operator.matmul(X)
Y.shape
==> [..., M, R]

Y[..., :, r] = sum_j A[..., :, j] X[j, r]

matvec

Просмотреть исходный код

matvec(
    x, adjoint=False, name='matvec'
)

Преобразование [пакетного] вектора x с левым умножением: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matric A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)

X = ... # shape [..., N], batch vector

Y = operator.matvec(X)
Y.shape
==> [..., M]

Y[..., :] = sum_j A[..., :, j] X[..., j]

range_dimension_tensor

Просмотреть исходный код

range_dimension_tensor(
    name='range_dimension_tensor'
)

Размерность (в смысле векторных пространств) области значений этого оператора.

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает M.

shape_tensor

Просмотреть исходный код

shape_tensor(
    name='shape_tensor'
)

Форма этой LinearOperator, определяемая во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает Tensor, содержащую [B1,...,Bb, M, N], эквивалентную tf.shape(A).

solve

Просмотреть исходный код

solve(
    rhs, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='solve'
)

Решение (точное или приближённое) системы уравнений R (пакет): A X = rhs.

Возвращённый Tensor будет близок к точному решению, если A хорошо обусловлен. В противном случае близость будет меняться. Смотрите документацию класса для подробностей.

Примеры:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve R > 0 linear systems for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M, R]

X = operator.solve(RHS)
# X[..., :, r] is the solution to the r'th linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j, r] = RHS[..., :, r]

operator.matmul(X)
==> RHS

solvevec

Просмотреть исходный код

solvevec(
    rhs, adjoint=False, name='solve'
)

Решить отдельное уравнение с наилучшим результатом: A X = rhs.

Возвращённый Tensor будет близок к точному решению, если A хорошо обусловлен. В противном случае близость будет меняться. Смотрите документацию класса для подробностей.

Примеры:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve one linear system for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M]

X = operator.solvevec(RHS)
# X is the solution to the linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j] = RHS[..., :]

operator.matvec(X)
==> RHS

tensor_rank_tensor

Просмотреть исходный код

tensor_rank_tensor(
    name='tensor_rank_tensor'
)

Ранг (в смысле тензоров) матрицы, соответствующей этому оператору.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то он возвращает b + 2.

to_dense

Просмотреть исходный код

to_dense(
    name='to_dense'
)

Возвращает плотную (пакетную) матрицу, представляющую этот оператор.

trace

Просмотреть исходный код

trace(
    name='trace'
)

След линейного оператора, равный сумме self.diag_part().

Если оператор является квадратным, то это также сумма собственных значений.