tf.linalg.LinearOperatorLowerTriangular

LinearOperator как [пакетный] квадратная нижняя треугольная матрица.

Наследуется от: LinearOperator

tf.linalg.LinearOperatorLowerTriangular(
    tril, is_non_singular=None, is_self_adjoint=None, is_positive_definite=None,
    is_square=None, name='LinearOperatorLowerTriangular'
)

Этот оператор действует как [пакетная] нижняя треугольная матрица A с формой [B1,...,Bb, N, N] для некоторого b >= 0. Первые b индексы индексируют элемент пакета. Для каждого индекса пакета (i1,...,ib), A[i1,...,ib, : :] является N x N матрицей.

LinearOperatorLowerTriangular инициализируется с Tensor, имеющим размеры [B1,...,Bb, N, N]. Верхний треугольник последних двух измерений игнорируется.

# Create a 2 x 2 lower-triangular linear operator.
tril = [[1., 2.], [3., 4.]]
operator = LinearOperatorLowerTriangular(tril)

# The upper triangle is ignored.
operator.to_dense()
==> [[1., 0.]
     [3., 4.]]

operator.shape
==> [2, 2]

operator.log_abs_determinant()
==> scalar Tensor

x = ... Shape [2, 4] Tensor
operator.matmul(x)
==> Shape [2, 4] Tensor

# Create a [2, 3] batch of 4 x 4 linear operators.
tril = tf.random.normal(shape=[2, 3, 4, 4])
operator = LinearOperatorLowerTriangular(tril)

Совместимость форм

Этот оператор действует на [пакетной] матрице с совместимой формой. x — это пакетная матрица с совместимой формой для matmul и solve если

operator.shape = [B1,...,Bb] + [N, N],  with b >= 0
x.shape =        [B1,...,Bb] + [N, R],  with R >= 0.

Производительность

Предположим, operator — это LinearOperatorLowerTriangular формы [N, N], и x.shape = [N, R]. Тогда

• operator.matmul(x) включает N^2 * R умножений.
• operator.solve(x) включает N * R по размеру N обратные подстановки.
• operator.determinant() включает размер N reduce_prod.

Если вместо этого operator и x имеют форму [B1,...,Bb, N, N] и [B1,...,Bb, N, R], сложность каждой операции увеличивается на B1*...*Bb.

Рекомендации по свойствам матриц

Этот LinearOperator инициализируется булевыми флагами формы is_X, для X = non_singular, self_adjoint, positive_definite, square. У них есть следующее значение:

• Если is_X == True, вызывающие стороны должны ожидать, что оператор обладает свойством X. Это обещание, которое должно быть выполнено, но это не проверка во время выполнения. Например, конечная точность с плавающей запятой может привести к нарушению этих обещаний.
• Если is_X == False, вызывающие стороны должны ожидать, что оператор не обладает X.
• Если is_X == None (по умолчанию), вызывающие стороны не должны иметь ожиданий ни в ту, ни в другую сторону.

Методы

add_to_tensor

Просмотреть исходный код

add_to_tensor(
    x, name='add_to_tensor'
)

Добавить матрицу, представленную этим оператором, к x. Эквивалентно A + x.

adjoint

Просмотреть исходный код

adjoint(
    name='adjoint'
)

Возвращает сопряжённый оператор.

Учитывая A представляющий этот LinearOperator, вернуть A*. Обратите внимание, что вызов self.adjoint() и self.H эквивалентны.

assert_non_singular

Просмотреть исходный код

assert_non_singular(
    name='assert_non_singular'
)

Возвращает оператор, проверяющий, что оператор невырожден.

Оператор считается невырожденным, если

ConditionNumber < max{100, range_dimension, domain_dimension} * eps,
eps := np.finfo(self.dtype.as_numpy_dtype).eps

assert_positive_definite

Просмотреть исходный код

assert_positive_definite(
    name='assert_positive_definite'
)

Возвращает оператор, проверяющий, что оператор положительно определён.

Здесь положительно определённый означает, что квадратичная форма x^H A x имеет положительную действительную часть для всех ненулевых x. Обратите внимание, что мы не требуем, чтобы оператор был самосопряжённым, чтобы быть положительно определённым.

assert_self_adjoint

Просмотреть исходный код

assert_self_adjoint(
    name='assert_self_adjoint'
)

Возвращает оператор, проверяющий, что оператор самосопряжён.

Здесь мы проверяем, что этот оператор точно равен своему эрмитовому транспонированию.

batch_shape_tensor

Просмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма размерностей пакета этого оператора, определяемая во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает объект Tensor, содержащий [B1,...,Bb].

cholesky

Просмотреть исходный код

cholesky(
    name='cholesky'
)

Возвращает фактор Холецкого как LinearOperator.

Дан A , представляющий данный LinearOperator, если A является положительно определённой самосопряжённой матрицей, возвращает L, где A = L L^T, т.е. разложение Холецкого.

determinant

Просмотреть исходный код

determinant(
    name='det'
)

Определитель для каждого элемента пакета.

diag_part

Просмотреть исходный код

diag_part(
    name='diag_part'
)

Эффективный способ получить [пакетную] диагональную часть этого оператора.

Если у этого оператора форма [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает Tensor diagonal, с формой [B1,...,Bb, min(M, N)], где diagonal[b1,...,bb, i] = self.to_dense()[b1,...,bb, i, i].

my_operator = LinearOperatorDiag([1., 2.])

# Efficiently get the diagonal
my_operator.diag_part()
==> [1., 2.]

# Equivalent, but inefficient method
tf.linalg.diag_part(my_operator.to_dense())
==> [1., 2.]

domain_dimension_tensor

Просмотреть исходный код

domain_dimension_tensor(
    name='domain_dimension_tensor'
)

Размерность (в смысле векторных пространств) области определения этого оператора.

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает N.

inverse

Просмотреть исходный код

inverse(
    name='inverse'
)

Возвращает обратный элемент данного LinearOperator.

Дан A представляющий данный LinearOperator, возвращает LinearOperator представляющий A^-1.

log_abs_determinant

Просмотреть исходный код

log_abs_determinant(
    name='log_abs_det'
)

Логарифм абсолютного значения определителя для каждого элемента пакета.

matmul

Просмотреть исходный код

matmul(
    x, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='matmul'
)

Преобразование [пакетной] матрицы x левым умножением: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

X = ... # shape [..., N, R], batch matrix, R > 0.

Y = operator.matmul(X)
Y.shape
==> [..., M, R]

Y[..., :, r] = sum_j A[..., :, j] X[j, r]

matvec

Просмотреть исходный код

matvec(
    x, adjoint=False, name='matvec'
)

Преобразовать [пакетный] вектор x левым умножением: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matric A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)

X = ... # shape [..., N], batch vector

Y = operator.matvec(X)
Y.shape
==> [..., M]

Y[..., :] = sum_j A[..., :, j] X[..., j]

range_dimension_tensor

Просмотреть исходный код

range_dimension_tensor(
    name='range_dimension_tensor'
)

Размерность (в смысле векторных пространств) образа этого оператора.

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает M.

shape_tensor

Просмотреть исходный код

shape_tensor(
    name='shape_tensor'
)

Форма этого LinearOperator, определяемая во время выполнения.

Если этот оператор действует как матрица пакета A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то он возвращает Tensor, содержащий [B1,...,Bb, M, N], эквивалентный tf.shape(A).

solve

Просмотреть исходный код

solve(
    rhs, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='solve'
)

Решение (точное или приближённое) R (пакетных) систем уравнений: A X = rhs.

Возвращаемое значение Tensor будет близко к точному решению, если A хорошо обусловлено. В противном случае близость будет разной. Подробнее см. в документации класса.

Примеры:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve R > 0 linear systems for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M, R]

X = operator.solve(RHS)
# X[..., :, r] is the solution to the r'th linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j, r] = RHS[..., :, r]

operator.matmul(X)
==> RHS

solvevec

Просмотреть исходный код

solvevec(
    rhs, adjoint=False, name='solve'
)

Решение одиночного уравнения с лучшим приближением: A X = rhs.

Возвращаемое значение Tensor будет близко к точному решению, если A хорошо обусловлено. В противном случае близость будет разной. Подробнее см. в документации класса.

Примеры:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve one linear system for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M]

X = operator.solvevec(RHS)
# X is the solution to the linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j] = RHS[..., :]

operator.matvec(X)
==> RHS

tensor_rank_tensor

Просмотреть исходный код

tensor_rank_tensor(
    name='tensor_rank_tensor'
)

Ранг (в смысле тензоров) матрицы, соответствующей этому оператору.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то он возвращает b + 2.

to_dense

Просмотреть исходный код

to_dense(
    name='to_dense'
)

Возвращает плотной (пакетной) матрицей, представляющей этот оператор.

trace

Просмотреть исходный код

trace(
    name='trace'
)

След линейного оператора, равный сумме self.diag_part().

Если оператор является квадратным, это также сумма собственных значений.