tf.compat.v1.distributions.Dirichlet

Распределение Дирихле.

Наследуется от: Distribution

tf.compat.v1.distributions.Dirichlet(
    concentration, validate_args=False, allow_nan_stats=True,
    name='Dirichlet'
)

Распределение Дирихле определено над (k-1)-симплексом с использованием положительного вектора длины k concentration (k > 1). Распределение Дирихле совпадает с бета-распределением, когда k = 2.

Математические подробности

Распределение Дирихле является распределением над открытым (k-1)-симплексом, т.е.

S^{k-1} = { (x_0, ..., x_{k-1}) in R^k : sum_j x_j = 1 and all_j x_j > 0 }.

Функция плотности вероятности (pdf) равна:

pdf(x; alpha) = prod_j x_j**(alpha_j - 1) / Z
Z = prod_j Gamma(alpha_j) / Gamma(sum_j alpha_j)

где:

• x in S^{k-1}, т.е., (k-1)-симплекс,
• concentration = alpha = [alpha_0, ..., alpha_{k-1}], alpha_j > 0,
• Z является нормирующей константой, также известной как многомерная бета-функция, и,
• Gamma является гамма-функцией.

concentration представляет собой среднее количество общих случаев появления классов, т.е.,

concentration = alpha = mean * total_concentration

где mean в S^{k-1} и total_concentration является положительным действительным числом, представляющим среднее общее количество.

Параметры распределения автоматически векторизуются во всех функциях; подробности см. в примерах.

Выборки этого распределения перепараметризованы (дифференцируемы по траекториям). Производные вычисляются с использованием подхода, описанного в (Figurnov и др., 2018).

Примеры

import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

# Create a single trivariate Dirichlet, with the 3rd class being three times
# more frequent than the first. I.e., batch_shape=[], event_shape=[3].
alpha = [1., 2, 3]
dist = tfd.Dirichlet(alpha)

dist.sample([4, 5])  # shape: [4, 5, 3]

# x has one sample, one batch, three classes:
x = [.2, .3, .5]   # shape: [3]
dist.prob(x)       # shape: []

# x has two samples from one batch:
x = [[.1, .4, .5],
     [.2, .3, .5]]
dist.prob(x)         # shape: [2]

# alpha will be broadcast to shape [5, 7, 3] to match x.
x = [[...]]   # shape: [5, 7, 3]
dist.prob(x)  # shape: [5, 7]

# Create batch_shape=[2], event_shape=[3]:
alpha = [[1., 2, 3],
         [4, 5, 6]]   # shape: [2, 3]
dist = tfd.Dirichlet(alpha)

dist.sample([4, 5])  # shape: [4, 5, 2, 3]

x = [.2, .3, .5]
# x will be broadcast as [[.2, .3, .5],
#                         [.2, .3, .5]],
# thus matching batch_shape [2, 3].
dist.prob(x)         # shape: [2]

Вычислить градиенты выборок относительно параметров:

alpha = tf.constant([1.0, 2.0, 3.0])
dist = tfd.Dirichlet(alpha)
samples = dist.sample(5)  # Shape [5, 3]
loss = tf.reduce_mean(tf.square(samples))  # Arbitrary loss function
# Unbiased stochastic gradients of the loss function
grads = tf.gradients(loss, alpha)

Ссылки:

Неявные градиенты перепараметризации: Figurnov и др., 2018 (pdf)

Методы

batch_shape_tensor

Просмотр исходного кода

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма одной выборки из одного индекса события в виде одномерного Tensor.

Размеры пакетных данных являются индексами независимых, нетождественных параметризаций этого распределения.

cdf

Просмотр исходного кода

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf равна:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Просмотр исходного кода

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создает глубокую копию распределения.

Примечание: копия распределения может по-прежнему зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Просмотр исходного кода

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация определена только для распределений с нескалярными событиями.

Например, для векторного распределения длины k, она вычисляется как,

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov является (пакетом) k x k матрицей, 0 <= (i, j) < k, и E обозначает математическое ожидание.

В альтернативном случае для не векторных, многомерных распределений (например, матричнозначных, Вишарта), Covariance вернет (пакет) матриц в рамках некоторой векторизации событий, т.е.,

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov является (пакетом) k' x k' матрицами, 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), и Vec - это некоторая функция, отображающая индексы измерений события этого распределения в индексы вектора длины k'.

cross_entropy

Просмотр исходного кода

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисляет (энтропию Шеннона) кросс-энтропию.

Обозначим это распределение (self) как P, а распределение other как Q. Предполагая, что P, Q абсолютно непрерывны друг относительно друга и допускают плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), (шанноновская) кросс-энтропия определяется как:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает область значений случайной величины X ~ P.

data-text="entropy" id="entropy">entropy

Просмотреть исходный код

entropy(
    name='entropy'
)

Шенноновская энтропия в натах.

data-text="event_shape_tensor" id="event_shape_tensor">event_shape_tensor

Просмотреть исходный код

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одной партии как 1-мерный целочисленный массив Tensor.

data-text="is_scalar_batch" id="is_scalar_batch">is_scalar_batch

Просмотреть исходный код

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

data-text="is_scalar_event" id="is_scalar_event">is_scalar_event

Просмотреть исходный код

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

data-text="kl_divergence" id="kl_divergence">kl_divergence

Просмотреть исходный код

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисляет расхождение Кульбака-Лейблера.

Обозначим это распределение (self) как p, а распределение other как q. Предполагая, что p, q абсолютно непрерывны относительно меры отсчёта r, расхождение KL определяется как:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает область значений случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает (шанноновскую) кросс-энтропию, а H[.] обозначает (шанноновскую) энтропию.

data-text="log_cdf" id="log_cdf">log_cdf

Просмотреть исходный код

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифм кумулятивной функции распределения.

Для случайной величины X, кумулятивная функция распределения cdf имеет вид:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто для log_cdf(x) используется численное приближение, которое даёт более точный ответ, чем просто взятие логарифма cdf при x << -1.

data-text="log_prob" id="log_prob">log_prob

Просмотреть исходный код

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифм плотности/массы вероятности.

Дополнительная документация от Dirichlet:

Примечание: value должен быть неотрицательным тензором с типом self.dtype и находиться в (self.event_shape() - 1)-симплексе, то есть tf.reduce_sum(value, -1) = 1. Он должен иметь форму, совместимую с self.batch_shape() + self.event_shape().

data-text="log_survival_function" id="log_survival_function">log_survival_function

Просмотреть исходный код

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифм функции выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется как:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Обычно для логарифма функции выживания используются различные численные приближения, которые более точны, чем 1 - cdf(x) при x >> 1.

data-text="mean" id="mean">mean

Просмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Среднее.

data-text="mode" id="mode">mode

Просмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

Дополнительная документация от Dirichlet:

Примечание: Мода не определена, когда любые concentration <= 1. Если self.allow_nan_stats является True, NaN используется для неопределённых мод. Если self.allow_nan_stats является False, при попытке получить одну или несколько мод, возникает исключение.

data-text="param_shapes" id="param_shapes">param_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров, заданных желаемой формой вызова sample().

Это метод класса, который описывает, какие пары ключ/значение необходимы для создания данного Distribution, чтобы получить определённую форму при вызове sample().

Подклассы должны переопределить метод класса _param_shapes.

param_static_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes со статическими (т.е. TensorShape) формами.

Это метод класса, который описывает необходимые пары «ключ-значение» для создания экземпляра данного Distribution, чтобы для вызова sample() экземпляра возвращалась определённая форма. Предполагается, что форма образца известна статически.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes для возврата тензоров с постоянными значениями при подаче постоянных значений.

prob

Просмотреть исходный код

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности/массы вероятности.

Дополнительная документация из Dirichlet:

Примечание: value должен быть неотрицательным тензором типа self.dtype и находиться в (self.event_shape() - 1)-симплексе, т.е. tf.reduce_sum(value, -1) = 1. Он должен иметь форму, совместимую с self.batch_shape() + self.event_shape().

quantile

Просмотреть исходный код

quantile(
    value, name='quantile'
)

Функция квантиля. Также известна как «обратная функция распределения» или «функция процентиля».

Для случайной величины X и p in [0, 1], квантиль:

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

sample

Просмотреть исходный код

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Генерация образцов заданной формы.

Обратите внимание, что вызов sample() без аргументов сгенерирует один образец.

stddev

Просмотреть исходный код

stddev(
    name='stddev'
)

Стандартное отклонение.

Стандартное отклонение определяется как,

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E — математическое ожидание, а stddev.shape = batch_shape + event_shape.

survival_function

Просмотреть исходный код

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

variance

Просмотреть исходный код

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется как,

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E — математическое ожидание, а Var.shape = batch_shape + event_shape.