tf.compat.v1.distributions.Gamma

Распределение Гамма.

Наследуется от: Distribution

tf.compat.v1.distributions.Gamma(
    concentration, rate, validate_args=False, allow_nan_stats=True,
    name='Gamma'
)

Распределение Гамма определено на положительных действительных числах с помощью параметров concentration (также известные как «альфа») и rate (также известные как «бета»).

Математические подробности

Функция плотности вероятности (pdf) равна,

pdf(x; alpha, beta, x > 0) = x**(alpha - 1) exp(-x beta) / Z
Z = Gamma(alpha) beta**(-alpha)

где:

• concentration = alpha, alpha > 0,
• rate = beta, beta > 0,
• Z является нормирующей константой, и,
• Gamma является функцией Гамма.

Функция кумулятивного распределения (cdf) равна,

cdf(x; alpha, beta, x > 0) = GammaInc(alpha, beta x) / Gamma(alpha)

где GammaInc является неполной функцией Гамма.

Параметры можно понять, рассмотрев их отношение к среднему значению и стандартному отклонению,

concentration = alpha = (mean / stddev)**2
rate = beta = mean / stddev**2 = concentration / mean

Параметры распределения автоматически транслируются во всех функциях; см. примеры для получения подробностей.

Образцы этого распределения перепараметризованы (дифференцируемы по траекториям). Производные вычисляются с использованием подхода, описанного в (Figurnov et al., 2018).

Примеры

import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

dist = tfd.Gamma(concentration=3.0, rate=2.0)
dist2 = tfd.Gamma(concentration=[3.0, 4.0], rate=[2.0, 3.0])

Вычислите градиенты образцов по отношению к параметрам:

concentration = tf.constant(3.0)
rate = tf.constant(2.0)
dist = tfd.Gamma(concentration, rate)
samples = dist.sample(5)  # Shape [5]
loss = tf.reduce_mean(tf.square(samples))  # Arbitrary loss function
# Unbiased stochastic gradients of the loss function
grads = tf.gradients(loss, [concentration, rate])

Ссылки:

Неявные градиенты перепараметризации: Figurnov et al., 2018 (pdf)

Методы

batch_shape_tensor

Просмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одного индекса события в виде 1-мерного Tensor.

Измерения пакетных данных - это индексы в независимых, нетождественных параметризациях этого распределения.

cdf

Просмотреть исходный код

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf равна:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Просмотреть исходный код

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создает глубокую копию распределения.

Примечание: распределение копии может продолжать зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Просмотреть исходный код

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация (возможно) определена только для распределений со значениями событий, не равными скаляру.

Например, для распределения со значениями событий длиной k, оно вычисляется как,

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov - (пакет) k x k матрица, 0 <= (i, j) < k, и E обозначает математическое ожидание.

В качестве альтернативы, для многомерных распределений, не являющихся векторами (например, матричные, Вишарта), Covariance вернет (пакет) матрицы в соответствии с некоторым векторизацией событий, т.е.,

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov - (пакет) k' x k' матрицы, 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), и Vec - некоторая функция, отображающая индексы измерений событий этого распределения в индексы вектора длиной k'.

cross_entropy

Просмотреть исходный код

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисляет (энтропию Шеннона) кросс-энтропию.

Обозначим это распределение (self) как P, а распределение other — как Q. Предполагая, что P, Q абсолютно непрерывны относительно друг друга и допускают плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), (энтропия Шеннона) кросс-энтропия определяется как:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает область определения случайной величины X ~ P.

data-text="entropy" id="entropy">entropy

Просмотреть исходный код

entropy(
    name='entropy'
)

Энтропия Шеннона в натах.

data-text="event_shape_tensor" id="event_shape_tensor">event_shape_tensor

Просмотреть исходный код

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одной группы в виде целочисленного массива int32 Tensor.

data-text="is_scalar_batch" id="is_scalar_batch">is_scalar_batch

Просмотреть исходный код

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

data-text="is_scalar_event" id="is_scalar_event">is_scalar_event

Просмотреть исходный код

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

data-text="kl_divergence" id="kl_divergence">kl_divergence

Просмотреть исходный код

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисляет расхождение Кульбака—Лейблера.

Обозначим это распределение (self) как p и распределение other как q. Предполагая, что p, q абсолютно непрерывны относительно опорного распределения r, расхождение Кульбака—Лейблера определяется как:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает область определения случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает (энтропию Шеннона) кросс-энтропию, а H[.] обозначает (энтропию Шеннона) энтропию.

data-text="log_cdf" id="log_cdf">log_cdf

Просмотреть исходный код

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифм функции кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf имеет вид:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто для log_cdf(x) используется численное приближение, которое даёт более точный результат, чем просто взятие логарифма от cdf при x << -1.

data-text="log_prob" id="log_prob">log_prob

Просмотреть исходный код

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифм функции плотности/массы вероятности.

data-text="log_survival_function" id="log_survival_function">log_survival_function

Просмотреть исходный код

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифм функции выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется следующим образом:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Обычно для логарифма функции выживания используются различные численные приближения, которые более точные, чем 1 - cdf(x) при x >> 1.

data-text="mean" id="mean">mean

Просмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Среднее значение.

data-text="mode" id="mode">mode

Просмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

Дополнительная документация от Gamma:

Мода распределения Гамма равна (shape - 1) / rate при shape > 1, и NaN в противном случае. Если self.allow_nan_stats равно False, будет выброшено исключение вместо возвращения NaN.

data-text="param_shapes" id="param_shapes">param_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров, учитывая желаемую форму вызова sample().

Это метод класса, описывающий требуемые пары «ключ-значение» для создания заданного Distribution, чтобы получить определённую форму в вызове sample().

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes.

param_static_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes со статическими (т. е. TensorShape) формами.

Это метод класса, описывающий необходимые пары «ключ-значение» для создания экземпляра данного Distribution, чтобы при вызове sample() для этого экземпляра возвращалась определённая форма. Предполагается, что форма выборки известна статически.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes, чтобы возвращать тензоры с постоянными значениями при подаче постоянных значений.

prob

Просмотреть исходный код

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности/массы вероятности.

quantile

Просмотреть исходный код

quantile(
    value, name='quantile'
)

Функция квантиля. Также известна как «обратная функция распределения» или «функция процентиля».

Для случайной величины X и p in [0, 1], quantile :

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

sample

Просмотреть исходный код

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Генерирует выборки заданной формы.

Обратите внимание, что вызов sample() без аргументов сгенерирует одну выборку.

stddev

Просмотреть исходный код

stddev(
    name='stddev'
)

Среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение определяется как,

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, и stddev.shape = batch_shape + event_shape.

survival_function

Просмотреть исходный код

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется как:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

variance

Просмотреть исходный код

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется как,

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, и Var.shape = batch_shape + event_shape.