tf.compat.v1.distributions.Gamma

Распределение Гамма.

Наследуется от: Distribution

tf.compat.v1.distributions.Gamma(
    concentration,
    rate,
    validate_args=False,
    allow_nan_stats=True,
    name='Gamma'
)

Распределение Гамма определено на положительных действительных числах с использованием параметров concentration (также «альфа») и rate (также «бета»).

Математические подробности

Функция плотности вероятности (pdf) равна,

pdf(x; alpha, beta, x > 0) = x**(alpha - 1) exp(-x beta) / Z
Z = Gamma(alpha) beta**(-alpha)

где:

• concentration = alpha, alpha > 0,
• rate = beta, beta > 0,
• Z является нормирующей константой, и,
• Gamma — это гамма-функция.

Функция кумулятивного распределения (cdf) равна,

cdf(x; alpha, beta, x > 0) = GammaInc(alpha, beta x) / Gamma(alpha)

где GammaInc — это неполная гамма-функция.

Параметры можно понять по их связи со средним значением и стандартным отклонением,

concentration = alpha = (mean / stddev)**2
rate = beta = mean / stddev**2 = concentration / mean

Параметры распределения автоматически передаются во всех функциях; см. примеры для получения подробностей.

Образцы этого распределения переопределены (путевая дифференцируемость). Производные вычисляются с использованием подхода, описанного в (Figurnov et al., 2018).

Примеры

import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

dist = tfd.Gamma(concentration=3.0, rate=2.0)
dist2 = tfd.Gamma(concentration=[3.0, 4.0], rate=[2.0, 3.0])

Вычислите градиенты образцов по отношению к параметрам:

concentration = tf.constant(3.0)
rate = tf.constant(2.0)
dist = tfd.Gamma(concentration, rate)
samples = dist.sample(5)  # Shape [5]
loss = tf.reduce_mean(tf.square(samples))  # Arbitrary loss function
# Unbiased stochastic gradients of the loss function
grads = tf.gradients(loss, [concentration, rate])

Ссылки:

Неявные градиенты перепараметризации: Figurnov et al., 2018 (pdf)

Методы

batch_shape_tensor

Просмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Формат одного образца из одного индекса события как одномерного Tensor.

Размеры набора являются индексами для независимых, не идентичных параметризаций этого распределения.

cdf

Просмотреть исходный код

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf равна:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Просмотреть исходный код

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создает глубокую копию распределения.

Примечание: распределение копии может по-прежнему зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Просмотреть исходный код

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация определена (возможно) только для распределений с нескалярными событиями.

Например, для распределения длиной k, векторного значения, она вычисляется как,

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov — (набор) k x k матрица, 0 <= (i, j) < k, и E обозначает математическое ожидание.

В альтернативном случае для не векторных, многомерных распределений (например, матричного значения, Вишарта), Covariance вернет (набор) матриц при некотором векторизации событий, то есть,

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov — (набор) k' x k' матриц, 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), и Vec — некоторая функция, которая отображает индексы измерений события этого распределения в индексы вектора длиной k'.

cross_entropy

Просмотреть исходный код

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисляет кросс-энтропию (Шеннона).

Обозначим это распределение (self) как P, а распределение other как Q. Предполагая, что P, Q абсолютно непрерывны друг относительно друга и допускают плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), (шанноновская) кросс-энтропия определяется как:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает область определения случайной величины X ~ P.

data-text="entropy" id="entropy">entropy

Просмотреть исходный код

entropy(
    name='entropy'
)

Шэнноновская энтропия в натах.

data-text="event_shape_tensor" id="event_shape_tensor">event_shape_tensor

Просмотреть исходный код

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одной группы как 1-мерный целочисленный Tensor.

data-text="is_scalar_batch" id="is_scalar_batch">is_scalar_batch

Просмотреть исходный код

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

data-text="is_scalar_event" id="is_scalar_event">is_scalar_event

Просмотреть исходный код

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

data-text="kl_divergence" id="kl_divergence">kl_divergence

Просмотреть исходный код

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисляет расстояние Кульбака—Лайблера.

Обозначим это распределение (self) как p, а распределение other как q. Предполагая, что p, q абсолютно непрерывны относительно опорной меры r, расстояние KL определяется как:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает область определения случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает (шанноновскую) кросс-энтропию, а H[.] обозначает (шанноновскую) энтропию.

data-text="log_cdf" id="log_cdf">log_cdf

Просмотреть исходный код

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифмическая функция кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf определяется как:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто для log_cdf(x) используется численное приближение, которое даёт более точный результат, чем просто взятие логарифма от cdf при x << -1.

data-text="log_prob" id="log_prob">log_prob

Просмотреть исходный код

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифмическая функция плотности/массы вероятности.

data-text="log_survival_function" id="log_survival_function">log_survival_function

Просмотреть исходный код

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифмическая функция выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется как:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Обычно для логарифмической функции выживания используются различные численные приближения, которые более точны, чем 1 - cdf(x) при x >> 1.

data-text="mean" id="mean">mean

Просмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Математическое ожидание.

data-text="mode" id="mode">mode

Просмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

Дополнительная документация от Gamma:

Мода распределения Гамма равна (shape - 1) / rate при shape > 1, и NaN в противном случае. Если self.allow_nan_stats равно False, будет возбуждено исключение вместо возвращения NaN.

data-text="param_shapes" id="param_shapes">param_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров, заданные желаемой формой вызова sample().

Это метод класса, описывающий необходимые аргументы key/value для создания экземпляра данного Distribution, чтобы получить определённую форму для вызова sample() этого экземпляра.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes.

param_static_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes со статическими (т. е. TensorShape) формами.

Это метод класса, описывающий требуемые пары «ключ-значение» для создания экземпляра заданного Distribution, чтобы при вызове sample() данным экземпляром возвращалась конкретная форма. Предполагается, что форма выборки известна статически.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes для возвращения тензоров с постоянными значениями при вводе постоянных значений.

prob

Просмотреть исходный код

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности/массы вероятности.

quantile

Просмотреть исходный код

quantile(
    value, name='quantile'
)

Функция квантиля. Также известна как «обратная функция распределения» или «функция процентильного значения».

Для случайной переменной X и p in [0, 1] quantile:

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

sample

Просмотреть исходный код

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Генерирует выборки указанной формы.

Обратите внимание, что вызов sample() без аргументов сгенерирует одну выборку.

stddev

Просмотреть исходный код

stddev(
    name='stddev'
)

Среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение определяется как,

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, и stddev.shape = batch_shape + event_shape.

survival_function

Просмотреть исходный код

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживаемости.

Для случайной переменной X, функция выживаемости определяется как:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

variance

Просмотреть исходный код

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется как,

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, и Var.shape = batch_shape + event_shape.