tf.compat.v1.distributions.StudentT

Распределение Стьюдента.

Наследуется от: Distribution

tf.compat.v1.distributions.StudentT(
    df,
    loc,
    scale,
    validate_args=False,
    allow_nan_stats=True,
    name='StudentT'
)

Это распределение имеет параметры: число степеней свободы df, положение loc, и scale.

Математические детали

Функция плотности вероятности (pdf) равна,

pdf(x; df, mu, sigma) = (1 + y**2 / df)**(-0.5 (df + 1)) / Z
where,
y = (x - mu) / sigma
Z = abs(sigma) sqrt(df pi) Gamma(0.5 df) / Gamma(0.5 (df + 1))

где:

• loc = mu,
• scale = sigma, и,
• Z является нормирующей константой, и,
• Gamma является функцией Гамма.

Распределение Стьюдента является членом семейства местоположения-масштаба, т.е. его можно построить как,

X ~ StudentT(df, loc=0, scale=1)
Y = loc + scale * X

Обратите внимание, что scale имеет семантику, более похожую на стандартное отклонение, чем на дисперсию. Однако это не фактическое стандартное отклонение; стандартное отклонение распределения Стьюдента равно scale sqrt(df / (df - 2)) при df > 2.

Образцы этого распределения перепараметризованы (путевая дифференцируемость). Производные вычисляются с помощью подхода, описанного в (Figurnov et al., 2018).

Примеры

Примеры инициализации одного или нескольких распределений.

import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

# Define a single scalar Student t distribution.
single_dist = tfd.StudentT(df=3)

# Evaluate the pdf at 1, returning a scalar Tensor.
single_dist.prob(1.)

# Define a batch of two scalar valued Student t's.
# The first has degrees of freedom 2, mean 1, and scale 11.
# The second 3, 2 and 22.
multi_dist = tfd.StudentT(df=[2, 3], loc=[1, 2.], scale=[11, 22.])

# Evaluate the pdf of the first distribution on 0, and the second on 1.5,
# returning a length two tensor.
multi_dist.prob([0, 1.5])

# Get 3 samples, returning a 3 x 2 tensor.
multi_dist.sample(3)

Аргументы транслируются, когда это возможно.

# Define a batch of two Student's t distributions.
# Both have df 2 and mean 1, but different scales.
dist = tfd.StudentT(df=2, loc=1, scale=[11, 22.])

# Evaluate the pdf of both distributions on the same point, 3.0,
# returning a length 2 tensor.
dist.prob(3.0)

Вычислите градиенты выборок относительно параметров:

df = tf.constant(2.0)
loc = tf.constant(2.0)
scale = tf.constant(11.0)
dist = tfd.StudentT(df=df, loc=loc, scale=scale)
samples = dist.sample(5)  # Shape [5]
loss = tf.reduce_mean(tf.square(samples))  # Arbitrary loss function
# Unbiased stochastic gradients of the loss function
grads = tf.gradients(loss, [df, loc, scale])

Ссылки:

Неявные градиенты перепараметризации: Figurnov et al., 2018 (pdf)

Методы

batch_shape_tensor

Просмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одного индекса события как одномерный Tensor.

Размер пакетных данных — индексы независимых, нетождественных параметризаций этого распределения.

cdf

Просмотреть исходный код

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf равна:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Просмотреть исходный код

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создает глубокую копию распределения.

Примечание: распределение копии может по-прежнему зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Просмотреть исходный код

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация (возможно) определена только для распределений с нескалярным событием.

Например, для векторного распределения длины k, она рассчитывается как,

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov — (пакетная) k x k матрица, 0 <= (i, j) < k, и E обозначает математическое ожидание.

В альтернативном случае для невекторных, многомерных распределений (например, матричных, Уишарта), Covariance должна возвращать (пакетную) матрицу при определенной векторизации событий, т.е.,

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov — (пакетная) k' x k' матрица, 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), и Vec — некоторая функция, отображающая индексы размерностей события этого распределения на индексы векторной длины k'.

cross_entropy

Просмотреть исходный код

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисляет (энтропию Шеннона) кросс-энтропию.

Обозначим это распределение (self) как P и распределение other как Q. Предполагая, что P, Q абсолютно непрерывны относительно друг друга и допускают плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), (энтропия Шеннона) кросс-энтропия определяется как:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает область определения случайной величины X ~ P.

entropy

Просмотреть исходный код

entropy(
    name='entropy'
)

Энтропия Шеннона в натах.

event_shape_tensor

Просмотреть исходный код

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одного набора, как 1-мерный целочисленный Tensor.

is_scalar_batch

Просмотреть исходный код

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

is_scalar_event

Просмотреть исходный код

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

kl_divergence

Просмотреть исходный код

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисляет расстояние Кульбака—Лейблера.

Обозначим это распределение (self) как p и распределение other как q. Предполагая, что p, q абсолютно непрерывны относительно меры отсчёта r, расстояние Кульбака—Лейблера определяется как:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает область значений случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает (энтропию Шеннона) кросс-энтропию, и H[.] обозначает (энтропию Шеннона) энтропию.

log_cdf

Просмотреть исходный код

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифмическая функция кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf задаётся как:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто для log_cdf(x) можно использовать численные приближения, которые дают более точный ответ, чем просто взятие логарифма cdf, когда x << -1.

log_prob

Просмотреть исходный код

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифмическая функция плотности/массы вероятности.

log_survival_function

Просмотреть исходный код

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифмическая функция выживаемости.

Для случайной величины X, функция выживаемости определяется как:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Обычно для логарифмической функции выживаемости можно использовать различные численные приближения, которые более точны, чем 1 - cdf(x), когда x >> 1.

mean

Просмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Математическое ожидание.

Дополнительная документация от StudentT.

Математическое ожидание распределения Стьюдента равно loc, если df > 1, в противном случае оно равно NaN. Если self.allow_nan_stats=True, то вместо возвращения NaN будет выброшено исключение.

mode

Просмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

param_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров, заданных желаемой формой вызова sample().

Это метод класса, который описывает, какие аргументы ключ/значение требуются для создания данного Distribution, чтобы в вызове sample() данного экземпляра возвращалась определённая форма.

Подклассы должны переопределить метод класса _param_shapes.

param_static_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes со статическими (т.е. TensorShape) формами.

Это метод класса, который описывает, какие аргументы ключ/значение требуются для создания данного Distribution, чтобы в вызове sample() данного экземпляра возвращалась определённая форма. Предполагается, что форма выборки известна статически.

Подклассы должны переопределить метод класса _param_shapes для возвращения тензоров с постоянными значениями при подаче постоянных значений.

prob

Просмотр исходного кода

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности/массы вероятности.

quantile

Просмотр исходного кода

quantile(
    value, name='quantile'
)

Функция квантиля. Также известна как "обратная функция распределения" или "функция процентиля".

Для случайной величины X и p in [0, 1], квантиль:

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

sample

Просмотр исходного кода

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Генерирует образцы заданной формы.

Обратите внимание, что вызов sample() без аргументов сгенерирует один образец.

stddev

Просмотр исходного кода

stddev(
    name='stddev'
)

Стандартное отклонение.

Стандартное отклонение определяется как,

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, и stddev.shape = batch_shape + event_shape.

survival_function

Просмотр исходного кода

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется как:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

variance

Просмотр исходного кода

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется как,

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, и Var.shape = batch_shape + event_shape.

Дополнительная документация из StudentT:

Дисперсия для распределения Стьюдента равна

df / (df - 2), when df > 2
infinity, when 1 < df <= 2
NaN, when df <= 1