tf.linalg.lstsq

Решает одну или несколько задач линейной наименьших квадратов.

tf.linalg.lstsq(
    matrix, rhs, l2_regularizer=0.0, fast=True, name=None
)

matrix — это тензор формы [..., M, N], чьи внутренние 2 измерения образуют матрицы M×N. Rhs — это тензор формы [..., M, K], чьи внутренние 2 измерения образуют матрицы M×K. Вычисляемый результат — это Tensor формы [..., N, K], чьи внутренние 2 измерения образуют матрицы M×K, которые решают уравнения matrix[..., :, :] * output[..., :, :] = rhs[..., :, :] в смысле наименьших квадратов.

Ниже мы будем использовать следующую запись для каждой пары матриц и правых частей в пакете:

matrix=\(A \in \Re^{m \times n}\), rhs=\(B \in \Re^{m \times k}\), output=\(X \in \Re^{n \times k}\), l2_regularizer=\(\lambda\).

Если fast является True, то решение вычисляется путем решения нормальных уравнений с использованием разложения Холецкого. Конкретно, если \(m \ge n\), то \(X = (A^T A + \lambda I)^{-1} A^T B\), что решает задачу наименьших квадратов \(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \Re^{n \times k} } ||A Z - B||_F^2 + \lambda ||Z||_F^2\). Если \(m \lt n\), то output вычисляется как \(X = A^T (A A^T + \lambda I)^{-1} B\), что (при \(\lambda = 0\)) является решением с минимальной нормой для недоопределённой системы линейных уравнений, то есть \(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \Re^{n \times k} } ||Z||_F^2 \), при условии \(A Z = B\). Обратите внимание, что быстрый путь численно устойчив только тогда, когда \(A\) численно полным рангом и имеет число обусловленности \(\mathrm{cond}(A) \lt \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{mach} } }\) или \(\lambda\) достаточно велико.

Если fast является False, используется алгоритм, основанный на численно устойчивом полном ортогональном разложении. Это вычисляет решение с минимальной нормой в случае наименьших квадратов, даже если \(A\) имеет недостаточный ранг. Этот путь обычно в 6-7 раз медленнее, чем быстрый путь. Если fast является False, то l2_regularizer игнорируется.