std::assoc_legendre, std::assoc_legendref, std::assoc_legendrel

Определено в заголовочном файле `<cmath>`
	(1)
float assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, float x ); double assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, double x ); long double assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, long double x );		(с C++17) (до C++23)
/* floating-point-type / assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, / floating-point-type */ x );		(с C++23)
float assoc_legendref( unsigned int n, unsigned int m, float x );	(2)	(с C++17)
long double assoc_legendrel( unsigned int n, unsigned int m, long double x );	(3)	(с C++17)
Дополнительные перегрузки
Определено в заголовочном файле `<cmath>`
template< class Integer > double assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, Integer x );	(A)	(с C++17)

1-3) Вычисляет ассоциированные полиномы Лежандра степени n, порядка m, и аргумента x. Библиотека предоставляет перегрузки std::assoc_legendre для всех типов чисел с плавающей точкой без квалификаторов CV в качестве типа параметра x.(с C++23)

A) Дополнительные перегрузки предоставляются для всех целочисленных типов, которые обрабатываются как double.

Параметры

n	-	степень полинома, целое беззнаковое значение
m	-	порядок полинома, целое беззнаковое значение
x	-	аргумент, значение с плавающей точкой или целое значение

Возвращаемое значение

Если ошибки не возникли, возвращается значение ассоциированного полинома Лежандра \(\mathsf{P}_n^m\)P_mn от x, то есть \((1 - x^2) ^ {m/2} \: \frac{ \mathsf{d} ^ m}{ \mathsf{d}x ^ m} \, \mathsf{P}_n(x)\)(1-x²)^m/2 d^m/dx^mP_n(x), (где \(\mathsf{P}_n(x)\)P_n(x) — полином Лежандра без ассоциации, std::legendre(n, x)).

Обратите внимание, что член фазы Кондона-Шортли \((-1)^m\)(-1)^m опущен из этого определения.

Обработка ошибок

Ошибки могут быть сообщены, как указано в math_errhandling

Если аргумент NaN, возвращается NaN, и ошибка области не сообщается
Если |x| > 1, может произойти ошибка области
Если n больше или равно 128, поведение определяется реализацией

Примечания

Реализации, которые не поддерживают C++17, но поддерживают ISO 29124:2010, предоставляют эту функцию, если __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ определено реализацией как значение не менее 201003L и если пользователь определяет __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ перед включением любых заголовочных файлов стандартной библиотеки.

Реализации, которые не поддерживают ISO 29124:2010, но поддерживают TR 19768:2007 (TR1), предоставляют эту функцию в заголовочном файле tr1/cmath и пространстве имен std::tr1.

Реализация этой функции также доступна в boost.math как boost::math::legendre_p, за исключением того, что определение boost.math включает член фазы Кондона-Шортли.

Несколько первых ассоциированных полиномов Лежандра:

Функция	Полином
assoc_legendre(0, 0, x)	1
assoc_legendre(1, 0, x)	x
assoc_legendre(1, 1, x)	(1 - x²)^1/2
assoc_legendre(2, 0, x)	1/2(3x² - 1)
assoc_legendre(2, 1, x)	3x(1 - x²)^1/2
assoc_legendre(2, 2, x)	3(1 - x²)

Дополнительные перегрузки не обязаны предоставляться точно, как (A). Они должны быть достаточными, чтобы гарантировать, что для аргумента num целочисленного типа, std::assoc_legendre(int_num1, int_num2, num) имеет тот же эффект, что и std::assoc_legendre(int_num1, int_num2, static_cast<double>(num)).

Пример

#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P20(double x)
{
    return 0.5 * (3 * x * x - 1);
}
 
double P21(double x)
{
    return 3.0 * x * std::sqrt(1 - x * x);
}
 
double P22(double x)
{
    return 3 * (1 - x * x);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::assoc_legendre(2, 0, 0.5) << '=' << P20(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 1, 0.5) << '=' << P21(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 2, 0.5) << '=' << P22(0.5) << '\n';
}

Вывод:

-0.125=-0.125
1.29904=1.29904
2.25=2.25

См. также

legendrelegendreflegendrel

(C++17)(C++17)(C++17)

Полиномы Лежандра
(функция)

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. "Associated Legendre Polynomial." From MathWorld — A Wolfram Web Resource.

© cppreference.com
Licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike Unported License v3.0.
https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/special_functions/assoc_legendre