std::legendre, std::legendref, std::legendrel

Определено в заголовочном файле `<cmath>`
	(1)
float legendre ( unsigned int n, float x ); double legendre ( unsigned int n, double x ); long double legendre ( unsigned int n, long double x );		(с C++17) (до C++23)
/* floating-point-type / legendre( unsigned int n, / floating-point-type */ x );		(с C++23)
float legendref( unsigned int n, float x );	(2)	(с C++17)
long double legendrel( unsigned int n, long double x );	(3)	(с C++17)
Дополнительные перегрузки
Определено в заголовочном файле `<cmath>`
template< class Integer > double legendre ( unsigned int n, Integer x );	(A)	(с C++17)

1-3) Вычисляет неассоциированные полиномы Лежандра степени n и аргумента x. Библиотека предоставляет перегрузки std::legendre для всех типов с плавающей точкой без квалификатора cv в качестве типа параметра x.(с C++23)

A) Дополнительные перегрузки предоставляются для всех целочисленных типов, которые обрабатываются как double.

Параметры

n	-	степень полинома
x	-	аргумент, значение с плавающей точкой или целое число

Возвращаемое значение

Если ошибки не произошли, возвращается значение неассоциированного полинома Лежандра порядка n от x, то есть \(\mathsf{P}_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathsf{d}^n}{\mathsf{d}x^n} (x^2-1)^n \)1/2nn!dn/dxn(x²-1)ⁿ.

Обработка ошибок

Об ошибках может быть сообщено, как указано в math_errhandling.

Если аргумент является NaN, возвращается NaN, и ошибка области не сообщается
Функция не обязана быть определена для |x|>1
Если n больше или равно 128, поведение определяется реализацией

Примечания

Реализации, которые не поддерживают C++17, но поддерживают ISO 29124:2010, предоставляют эту функцию, если __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ определяется реализацией как значение не менее 201003L, и если пользователь определяет __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ перед включением каких-либо заголовочных файлов стандартной библиотеки.

Реализации, которые не поддерживают ISO 29124:2010, но поддерживают TR 19768:2007 (TR1), предоставляют эту функцию в заголовочном файле tr1/cmath и пространстве имен std::tr1.

Реализация этой функции также доступна в boost.math.

Несколько первых полиномов Лежандра:

Функция	Полином
legendre(0, x)	1
legendre(1, x)	x
legendre(2, x)	1/2(3x² - 1)
legendre(3, x)	1/2(5x³ - 3x)
legendre(4, x)	1/8(35x⁴ - 30x² + 3)

Дополнительные перегрузки не требуют точного предоставления, как в (A). Они должны быть достаточными для обеспечения того, что для своего аргумента num целочисленного типа, std::legendre(int_num, num) имеет тот же эффект, что и std::legendre(int_num, static_cast<double>(num)).

Пример

#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P3(double x)
{
    return 0.5 * (5 * std::pow(x, 3) - 3 * x);
}
 
double P4(double x)
{
    return 0.125 * (35 * std::pow(x, 4) - 30 * x * x + 3);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::legendre(3, 0.25) << '=' << P3(0.25) << '\n'
              << std::legendre(4, 0.25) << '=' << P4(0.25) << '\n';
}

Вывод:

-0.335938=-0.335938
0.157715=0.157715

См. также

laguerrelaguerreflaguerrel (C++17)(C++17)(C++17)	Полиномы Лагуэра (функция)
hermitehermitefhermitel (C++17)(C++17)(C++17)	Полиномы Эрмита (функция)

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. "Полином Лежандра." Из MathWorld — Wolfram Web Resource.

© cppreference.com
Licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike Unported License v3.0.
https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/special_functions/legendre