std::beta, std::betaf, std::betal

float       beta ( float x, float y );
double      beta ( double x, double y );
long double beta ( long double x, long double y );

/* floating-point-type */ beta( /* floating-point-type */ x,
                                /* floating-point-type */ y );

float       betaf( float x, float y );

long double betal( long double x, long double y );

template< class Arithmetic1, class Arithmetic2 >
/* common-floating-point-type */ beta( Arithmetic1 x, Arithmetic2 y );

Параметры

Возвращаемое значение

Если ошибок не возникает, возвращается значение бета-функции от x и y, то есть \(\int_{0}^{1}{ {t}^{x-1}{(1-t)}^{y-1}\mathsf{d}t}\)∫₁₀t^x-1(1-t)^(y-1)dt, или, что равносильно, \(\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)

.

Обработка ошибок

Об ошибках может сообщаться согласно math_errhandling.

• Если любой аргумент является NaN, возвращается NaN, и об ошибке области определения не сообщается.
• Функция должна быть определена только тогда, когда x и y больше нуля; в противном случае разрешается сообщать об ошибке области определения.

Примечания

Реализации, не поддерживающие C++17, но поддерживающие ISO 29124:2010, предоставляют эту функцию, если __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ определён реализацией как значение не меньше 201003L и пользователь определяет __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ до включения любых заголовков стандартной библиотеки.

Реализации, не поддерживающие ISO 29124:2010, но поддерживающие TR 19768:2007 (TR1), предоставляют эту функцию в заголовке tr1/cmath и пространстве имён std::tr1.

Реализация этой функции также доступна в boost.math.

std::beta(x, y) равно std::beta(y, x).

Когда x и y являются положительными целыми числами, std::beta(x, y) равно \(\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}\)

. Биномиальные коэффициенты можно выразить через бета-функцию: \(\binom{n}{k} = \frac{1}{(n+1)B(n-k+1,k+1)}\)

.

Дополнительные перегрузки не обязаны предоставляться в точности в виде (A). Они должны лишь обеспечивать, чтобы для первого аргумента num1 и второго аргумента num2 выполнялось следующее:

Пример

#include <cassert>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <numbers>
#include <string>

long binom_via_beta(int n, int k)
{
    return std::lround(1 / ((n + 1) * std::beta(n - k + 1, k + 1)));
}

long binom_via_gamma(int n, int k)
{
    return std::lround(std::tgamma(n + 1) /
                      (std::tgamma(n - k + 1) * 
                       std::tgamma(k + 1)));
}

int main()
{
    std::cout << "Pascal's triangle:\n";
    for (int n = 1; n < 10; ++n)
    {
        std::cout << std::string(20 - n * 2, ' ');
        for (int k = 1; k < n; ++k)
        {
            std::cout << std::setw(3) << binom_via_beta(n, k) << ' ';
            assert(binom_via_beta(n, k) == binom_via_gamma(n, k));
        }
        std::cout << '\n';
    }

    // A spot-check
    const long double p = 0.123; // a random value in [0, 1]
    const long double q = 1 - p;
    const long double π = std::numbers::pi_v<long double>;
    std::cout << "\n\n" << std::setprecision(19)
              << "β(p,1-p)   = " << std::beta(p, q) << '\n'
              << "π/sin(π*p) = " << π / std::sin(π * p) << '\n';
}

Pascal's triangle:
                 
                  2
                3   3
              4   6   4
            5  10  10   5
          6  15  20  15   6
        7  21  35  35  21   7
      8  28  56  70  56  28   8
    9  36  84 126 126  84  36   9

β(p,1-p)   = 8.335989149587307836
π/sin(π*p) = 8.335989149587307834

См. также

Внешние ссылки