std::beta, std::betaf, std::betal

Определено в заголовке `<cmath>`
	(1)
float beta ( float x, float y ); double beta ( double x, double y ); long double beta ( long double x, long double y );		(с C++17) (до C++23)
/* floating-point-type / beta( / floating-point-type / x, / floating-point-type */ y );		(с C++23)
float betaf( float x, float y );	(2)	(с C++17)
long double betal( long double x, long double y );	(3)	(с C++17)
Дополнительные перегрузки
Определено в заголовке `<cmath>`
template< class Arithmetic1, class Arithmetic2 > /* common-floating-point-type */ beta( Arithmetic1 x, Arithmetic2 y );	(A)	(с C++17)

1-3) Вычисляет бета-функцию x и y. Библиотека предоставляет перегрузки std::beta для всех типов с плавающей точкой без квалификаторов cv в качестве типа параметров x и y.(с C++23)

A) Дополнительные перегрузки предоставляются для всех других комбинаций типов арифметики.

Параметры

x, y

значения с плавающей точкой или целые значения

Возвращаемое значение

Если ошибки не произошли, возвращается значение бета-функции x и y, то есть \(\int_{0}^{1}{ {t}^{x-1}{(1-t)}^{y-1}\mathsf{d}t}\)∫₁₀t^x-1(1-t)^(y-1)dt, или, эквивалентно, \(\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y).

Обработка ошибок

Ошибки могут быть сообщены, как указано в math_errhandling.

Если какой-либо аргумент имеет значение NaN, возвращается NaN, и ошибка области определения не сообщается.
Функция должна быть определена только там, где оба x и y больше нуля, и может сообщать об ошибке области определения в противном случае.

Примечания

Реализации, не поддерживающие C++17, но поддерживающие ISO 29124:2010, предоставляют эту функцию, если __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ определяется реализацией как значение не менее 201003L, и если пользователь определяет __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ перед включением каких-либо заголовков стандартной библиотеки.

Реализации, не поддерживающие ISO 29124:2010, но поддерживающие TR 19768:2007 (TR1), предоставляют эту функцию в заголовке tr1/cmath и пространстве имён std::tr1.

Реализация этой функции также доступна в boost.math.

std::beta(x, y) равно std::beta(y, x). Когда x и y являются положительными целыми числами, std::beta(x, y) равно \(\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}\)

(x-1)!(y-1)!/(x+y-1)!. Биномиальные коэффициенты могут быть выражены через бета-функцию: \(\binom{n}{k} = \frac{1}{(n+1)B(n-k+1,k+1)}\)⎛
⎜
⎝n
k⎞
⎟
⎠=1/(n+1)Β(n-k+1,k+1).

Дополнительные перегрузки не обязаны предоставляться точно как (A). Они должны быть достаточны, чтобы гарантировать, что для их первого аргумента num1 и второго аргумента num2:

Если num1 или num2 имеет тип long double, то std::beta(num1, num2) имеет тот же эффект, что и std::beta(static_cast<long double>(num1), static_cast<long double>(num2)).
В противном случае, если num1 и/или num2 имеет тип double или целочисленный тип, то std::beta(num1, num2) имеет тот же эффект, что и std::beta(static_cast<double>(num1), static_cast<double>(num2)).
В противном случае, если num1 или num2 имеет тип float, то std::beta(num1, num2) имеет тот же эффект, что и std::beta(static_cast<float>(num1), static_cast<float>(num2)).

(до C++23)

Если num1 и num2 имеют арифметические типы, то std::beta(num1, num2) имеет тот же эффект, что и std::beta(static_cast</* common-floating-point-type */>(num1), static_cast</* common-floating-point-type */>(num2)), где /* common-floating-point-type */ — тип с плавающей точкой с наибольшим рангом преобразования с плавающей точкой и наибольшим подрангом преобразования с плавающей точкой между типами num1 и num2, аргументы целочисленного типа считаются имеющими такой же ранг преобразования с плавающей точкой, как double.

Если такого типа с плавающей точкой с наибольшим рангом и подрангом не существует, то разрешение перегрузки не приводит к пригодной кандидатуре из предоставляемых перегрузок.

(с C++23)

Пример

#include <cassert>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <numbers>
#include <string>
 
long binom_via_beta(int n, int k)
{
    return std::lround(1 / ((n + 1) * std::beta(n - k + 1, k + 1)));
}
 
long binom_via_gamma(int n, int k)
{
    return std::lround(std::tgamma(n + 1) /
                      (std::tgamma(n - k + 1) * 
                       std::tgamma(k + 1)));
}
 
int main()
{
    std::cout << "Pascal's triangle:\n";
    for (int n = 1; n < 10; ++n)
    {
        std::cout << std::string(20 - n * 2, ' ');
        for (int k = 1; k < n; ++k)
        {
            std::cout << std::setw(3) << binom_via_beta(n, k) << ' ';
            assert(binom_via_beta(n, k) == binom_via_gamma(n, k));
        }
        std::cout << '\n';
    }
 
    // A spot-check
    const long double p = 0.123; // a random value in [0, 1]
    const long double q = 1 - p;
    const long double π = std::numbers::pi_v<long double>;
    std::cout << "\n\n" << std::setprecision(19)
              << "β(p,1-p)   = " << std::beta(p, q) << '\n'
              << "π/sin(π*p) = " << π / std::sin(π * p) << '\n';
}

Вывод:

Pascal's triangle:
 
                  2
                3   3
              4   6   4
            5  10  10   5
          6  15  20  15   6
        7  21  35  35  21   7
      8  28  56  70  56  28   8
    9  36  84 126 126  84  36   9
 
β(p,1-p)   = 8.335989149587307836
π/sin(π*p) = 8.335989149587307834

См. также

tgammatgammaftgammal

(C++11)(C++11)(C++11)

гамма-функция
(функция)

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. "Beta Function." Из MathWorld — Wolfram Web Resource.

© cppreference.com
Licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike Unported License v3.0.
https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/special_functions/beta