numpy.linalg.svd

numpy.linalg.svd(a, full_matrices=1, compute_uv=1) [source]

Разложение по сингулярным значениям.

Разлагает матрицу a как u * np.diag(s) * v, где u и v являются унитарными, а s — одномерный массив сингулярных значений.

Параметры:	a : (..., M, N) array_like Вещественная или комплексная матрица формы (M, N) . full_matrices : bool, optional Если True (по умолчанию), u и v имеют формы (M, M) и (N, N) соответственно. В противном случае формы соответственно (M, K) и (K, N), где K = min(M, N). compute_uv : bool, optional Вычислять ли u и v помимо s. По умолчанию True.
Возвращаемые значения:	u : { (..., M, M), (..., M, K) } array Унитарные матрицы. Фактическая форма зависит от значения full_matrices. Возвращается только когда compute_uv равно True. s : (..., K) array Сингулярные значения для каждой матрицы, отсортированные по убыванию. v : { (..., N, N), (..., K, N) } array Унитарные матрицы. Фактическая форма зависит от значения full_matrices. Возвращается только когда compute_uv равно True.
Исключения:	LinAlgError Если вычисление SVD не сходится.

Примечания

Введено в версии 1.8.0.

Применяются правила трансляции, см. документацию по numpy.linalg для получения подробностей.

Разложение выполняется с помощью процедуры LAPACK _gesdd

Разложение SVD обычно записывается как a = U S V.H. v возвращаемое этой функцией, это V.H и u = U.

Если U — унитарная матрица, это означает, что она удовлетворяет U.H = inv(U).

Строки v являются собственными векторами a.H a. Столбцы u являются собственными векторами a a.H. Для строки i в v и столбца i в u, соответствующее собственное значение равно s[i]**2.

Если a является объектом matrix (в отличие от ndarray), то все возвращаемые значения также будут объектами этого типа.

Примеры

>>> a = np.random.randn(9, 6) + 1j*np.random.randn(9, 6)

Восстановление на основе полного SVD:

>>> U, s, V = np.linalg.svd(a, full_matrices=True)
>>> U.shape, V.shape, s.shape
((9, 9), (6, 6), (6,))
>>> S = np.zeros((9, 6), dtype=complex)
>>> S[:6, :6] = np.diag(s)
>>> np.allclose(a, np.dot(U, np.dot(S, V)))
True

Восстановление на основе сокращённого SVD:

>>> U, s, V = np.linalg.svd(a, full_matrices=False)
>>> U.shape, V.shape, s.shape
((9, 6), (6, 6), (6,))
>>> S = np.diag(s)
>>> np.allclose(a, np.dot(U, np.dot(S, V)))
True