numpy.polynomial.polynomial.polyfit

numpy.polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None) [source]

Наименьшие квадраты для подгонки многочлена к данным.

Возвращает коэффициенты многочлена степени deg , являющегося наименьшими квадратами для значений данных y , заданных в точках x. Если y имеет размерность 1, возвращаемые коэффициенты также будут одномерными. Если y имеет размерность 2, выполняются несколько подгонок, по одной для каждого столбца y, и полученные коэффициенты хранятся в соответствующих столбцах двумерного результата. Подгоняемый многочлен(ы) находятся в форме

где n есть deg.

Параметры:	x : array_like, shape (M,) Координаты x выборочных (данных) точек M. y : array_like, shape (M,) или (M, K) Координаты y выборочных точек. Несколько наборов выборочных точек с одинаковыми координатами x могут быть (независимо) подогнаны с помощью одного вызова polyfit , передав для y двумерный массив, содержащий один набор данных в каждом столбце. deg : int или 1-D array_like Степень(и) подгоняемых многочленов. Если deg является целым числом, все члены вплоть до и включая deg-й член включаются в подгонку. Для версий Numpy >= 1.11 может использоваться список целых чисел, задающих степени включаемых членов. rcond : float, необязательно Относительное число обусловленности подгонки. Сингулярные значения, меньшие rcond, по отношению к наибольшему сингулярному значению, будут игнорироваться. Значение по умолчанию составляет len(x)*eps, где eps — относительная точность плавающей точки платформы, примерно 2e-16 в большинстве случаев. full : bool, необязательно Переключатель, определяющий характер возвращаемого значения. Когда False (значение по умолчанию) возвращаются только коэффициенты; когда True, также возвращается диагностическая информация из разложения по сингулярным значениям (используется для решения матричного уравнения подгонки). w : array_like, shape (M,), необязательно Веса. Если не равно None, вклад каждой точки (x[i],y[i]) в подгонку взвешивается на w[i]. В идеале веса выбираются таким образом, чтобы ошибки произведений w[i]*y[i] имели одинаковую дисперсию. Значение по умолчанию равно None. Введено в версии 1.5.0.
Возвращает:	coef : ndarray, shape (deg + 1,) или (deg + 1, K) Коэффициенты многочлена, упорядоченные от низшей к высшей степени. Если y было двумерным, коэффициенты в столбце k массива coef представляют многочленную подгонку к данным в y-ом столбце. [residuals, rank, singular_values, rcond] : list Эти значения возвращаются только если full = True resid – сумма квадратов остатков наименьших квадратов fit rank – числовой ранг масштабированной матрицы Вандермонда sv – сингулярные значения масштабированной матрицы Вандермонда rcond – значение rcond. Для получения дополнительной информации см. linalg.lstsq.
Исключения:	RankWarning Выбрасывается, если матрица в подгонке наименьших квадратов имеет недостаточный ранг. Предупреждение выводится только если full == False. Предупреждения можно отключить, выполнив: >>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', RankWarning)

См. также

chebfit, legfit, lagfit, hermfit, hermefit

polyval

Вычисляет многочлен.

polyvander

Матрица Вандермонда для степеней.

linalg.lstsq

Вычисляет наименьшие квадраты из матрицы.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Вычисляет сплайн-подгонки.

Примечания

Решение — коэффициенты многочлена p , минимизирующие сумму взвешенных квадратов ошибок

где — веса. Эта задача решается путём составления (обычно) переопределённого матричного уравнения:

где V — взвешенная псевдо-матрица Вандермонда x, c — коэффициенты, подлежащие решению, w — веса, и y — наблюдаемые значения. Это уравнение затем решается с помощью разложения по сингулярным значениям V.

Если некоторые сингулярные значения V настолько малы, что они игнорируются (и full == False), будет возбуждено RankWarning. Это означает, что значения коэффициентов могут быть плохо определены. Подгонка к многочлену более низкой степени обычно устраняет предупреждение (но это может быть не то, что вы хотите; если у вас есть независимые причина(ы) для выбора степени, которая не работает, вам, возможно, придётся: а) пересмотреть эти причины, и/или б) пересмотреть качество ваших данных). Параметр rcond также может быть установлен на значение, меньшее, чем по умолчанию, но полученная подгонка может быть ложной и иметь большой вклад от погрешности округления.

Подгонки многочленов с двойной точностью, как правило, «неудачны» при степени около 20. Подгонки с помощью рядов Чебышева или Лежандра, как правило, лучше обусловлены, но многое всё ещё может зависеть от распределения выборочных точек и гладкости данных. Если качество подгонки неудовлетворительно, сплайны могут быть хорошей альтернативой.

Примеры

>>> from numpy.polynomial import polynomial as P
>>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1]
>>> y = x**3 - x + np.random.randn(len(x)) # x^3 - x + N(0,1) "noise"
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> c # c[0], c[2] should be approx. 0, c[1] approx. -1, c[3] approx. 1
array([ 0.01909725, -1.30598256, -0.00577963,  1.02644286])
>>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results
[array([ 38.06116253]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158,  0.50443316,
0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]

То же самое без добавления шума

>>> y = x**3 - x
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> c # c[0], c[2] should be "very close to 0", c[1] ~= -1, c[3] ~= 1
array([ -1.73362882e-17,  -1.00000000e+00,  -2.67471909e-16,
         1.00000000e+00])
>>> stats # note the minuscule SSR
[array([  7.46346754e-31]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158,
0.50443316,  0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]