numpy.random.RandomState.gumbel

RandomState.gumbel(loc=0.0, scale=1.0, size=None)

Генерирует выборку из распределения Гумбеля.

Генерирует выборку из распределения Гумбеля с заданной точкой и масштабом. Более подробную информацию о распределении Гумбеля см. в разделах «Примечания» и «Ссылки» ниже.

Параметры:	loc : float Точка, соответствующая моде распределения. scale : float Параметр масштаба распределения. size : int или кортеж из целых чисел, необязательно Форма выходного массива. Если заданная форма, например, (m, n, k), то m * n * k элементов выбираются из распределения. По умолчанию значение None, в этом случае возвращается одно значение.
Возвращает:	samples : ndarray или скаляр

См. также

scipy.stats.gumbel_l, scipy.stats.gumbel_r, scipy.stats.genextreme, weibull

Примечания

Распределение Гумбеля (или распределение наименьшего экстремального значения (SEV) или распределение наименьшего экстремального значения типа I) является одним из класса распределений обобщенных экстремальных значений (GEV), используемых в задачах моделирования экстремальных явлений. Распределение Гумбеля является частным случаем распределения экстремальных значений типа I для максимумов из распределений с «экспоненциально-подобными» хвостами.

Плотность вероятности для распределения Гумбеля:

где — мода, параметр положения, и — параметр масштаба.

Распределение Гумбеля (названное в честь немецкого математика Эмиля Юлиуса Гумбеля) было использовано очень рано в гидрологической литературе для моделирования возникновения наводнений. Оно также используется для моделирования максимальной скорости ветра и интенсивности осадков. Это «распределение с толстыми хвостами» — вероятность события в хвосте распределения больше, чем если бы использовалась гауссовская функция, следовательно, удивительно частое явление 100-летних наводнений. Наводнения изначально моделировались как гауссовский процесс, что недооценивало частоту экстремальных событий.

Это одно из класса распределений экстремальных значений, обобщенных распределений экстремальных значений (GEV), которые также включают распределение Вейбулла и Фреше.

Среднее значение функции равно , а дисперсия равна .

Ссылки

[R152]

Gumbel, E. J., «Статистика экстремумов», Нью-Йорк: Columbia University Press, 1958.

[R153]

Reiss, R.-D. and Thomas, M., «Статистический анализ экстремальных значений из страхования, финансов, гидрологии и других областей», Базель: Birkhauser Verlag, 2001.

Примеры

Генерация выборки из распределения:

>>> mu, beta = 0, 0.1 # location and scale
>>> s = np.random.gumbel(mu, beta, 1000)

Отображение гистограммы выборки вместе с функцией плотности вероятности:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> count, bins, ignored = plt.hist(s, 30, normed=True)
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp( -np.exp( -(bins - mu) /beta) ),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.show()

(Исходный код, png, pdf)

Демонстрация того, как распределение экстремальных значений может возникнуть из гауссовского процесса и сравнение с гауссовским распределением:

>>> means = []
>>> maxima = []
>>> for i in range(0,1000) :
...    a = np.random.normal(mu, beta, 1000)
...    means.append(a.mean())
...    maxima.append(a.max())
>>> count, bins, ignored = plt.hist(maxima, 30, normed=True)
>>> beta = np.std(maxima) * np.sqrt(6) / np.pi
>>> mu = np.mean(maxima) - 0.57721*beta
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp(-np.exp(-(bins - mu)/beta)),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.plot(bins, 1/(beta * np.sqrt(2 * np.pi))
...          * np.exp(-(bins - mu)**2 / (2 * beta**2)),
...          linewidth=2, color='g')
>>> plt.show()

(png, pdf)