Использование удобных классов

Удобные классы, предоставляемые пакетом полиномов, это:

Ряды в этом контексте представляют собой конечные суммы соответствующих полиномиальных базисных функций, умноженных на коэффициенты. Например, ряд Тейлора выглядит так

и имеет коэффициенты . Ряд Чебышева с теми же коэффициентами выглядит так

и, более общо,

где в этом случае — функции Чебышева степени , но точно так же могут быть базисными функциями любого из других классов. Соглашение для всех классов таково, что коэффициент соответствует базисной функции степени i.

Все классы имеют одинаковые методы, и, в частности, они реализуют арифметические операторы Python: +, -, *, //, %, divmod, **, == и !=. Два последних могут быть немного проблематичными из-за ошибок округления с плавающей точкой. Сейчас мы приведём быструю демонстрацию различных операций, используя Numpy версии 1.7.0.

Основы

Сначала нам нужен класс полиномов и экземпляр полинома для экспериментов. Классы можно импортировать непосредственно из пакета полиномов или из модуля соответствующего типа. Здесь мы импортируем из пакета и используем обычный класс Polynomial, из-за его знакомости:

>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> p = P([1,2,3])
>>> p
Polynomial([ 1.,  2.,  3.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Обратите внимание, что длинный вывод состоит из трёх частей. Первая — коэффициенты, вторая — область определения, третья — окно:

>>> p.coef
array([ 1.,  2.,  3.])
>>> p.domain
array([-1.,  1.])
>>> p.window
array([-1.,  1.])

Вывод полинома имеет более короткий формат без области определения и окна:

>>> print p
poly([ 1.  2.  3.])

Мы будем рассматривать область определения и окно, когда доберёмся до подгонки, пока мы их игнорируем и пройдёмся по основным алгебраическим и арифметическим операциям.

Сложение и вычитание:

>>> p + p
Polynomial([ 2.,  4.,  6.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])
>>> p - p
Polynomial([ 0.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Умножение:

>>> p * p
Polynomial([  1.,   4.,  10.,  12.,   9.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Степень:

>>> p**2
Polynomial([  1.,   4.,  10.,  12.,   9.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Деление:

Целочисленное деление, ‘//’, — это оператор деления для классов полиномов, полиномы рассматриваются в этом отношении как целые числа. Для версий Python < 3.x оператор ‘/’ сопоставляется с ‘//’, как и в Python, для более поздних версий оператор ‘/’ будет работать только для деления на скаляры. В какой-то момент он будет устаревшим:

>>> p // P([-1, 1])
Polynomial([ 5.,  3.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Остаток:

>>> p % P([-1, 1])
Polynomial([ 6.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Divmod:

>>> quo, rem = divmod(p, P([-1, 1]))
>>> quo
Polynomial([ 5.,  3.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])
>>> rem
Polynomial([ 6.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Вычисление:

>>> x = np.arange(5)
>>> p(x)
array([  1.,   6.,  17.,  34.,  57.])
>>> x = np.arange(6).reshape(3,2)
>>> p(x)
array([[  1.,   6.],
       [ 17.,  34.],
       [ 57.,  86.]])

Подстановка:

Подставьте полином вместо x и раскройте результат. Здесь мы подставляем p в себя, что приводит к новому полиному степени 4 после раскрытия. Если полиномы рассматривать как функции, это композиция функций:

>>> p(p)
Polynomial([  6.,  16.,  36.,  36.,  27.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Корни:

>>> p.roots()
array([-0.33333333-0.47140452j, -0.33333333+0.47140452j])

Не всегда удобно явно использовать экземпляры Polynomial, поэтому кортежи, списки, массивы и скаляры автоматически преобразуются в арифметических операциях:

>>> p + [1, 2, 3]
Polynomial([ 2.,  4.,  6.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])
>>> [1, 2, 3] * p
Polynomial([  1.,   4.,  10.,  12.,   9.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])
>>> p / 2
Polynomial([ 0.5,  1. ,  1.5], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Полиномы, отличающиеся по области определения, окну или классу, не могут быть смешаны в арифметических операциях:

>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> p + P([1], domain=[0,1])
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<string>", line 213, in __add__
TypeError: Domains differ
>>> p + P([1], window=[0,1])
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<string>", line 215, in __add__
TypeError: Windows differ
>>> p + T([1])
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<string>", line 211, in __add__
TypeError: Polynomial types differ

Но для подстановки можно использовать разные типы. Фактически, именно так происходит преобразование классов Polynomial друг в друга для преобразования типа, области определения и окна:

>>> p(T([0, 1]))
Chebyshev([ 2.5,  2. ,  1.5], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Что даёт полином p в форме Чебышева. Это работает, потому что , а подстановка вместо не изменяет исходный полином. Однако все умножения и деления будут выполняться с использованием ряда Чебышева, поэтому тип результата будет таким же.

Математический анализ

Экземпляры Polynomial могут быть интегрированы и дифференцированы:

>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> p = P([2, 6])
>>> p.integ()
Polynomial([ 0.,  2.,  3.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])
>>> p.integ(2)
Polynomial([ 0.,  0.,  1.,  1.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Первый пример интегрирует p один раз, второй пример интегрирует его дважды. По умолчанию нижняя граница интегрирования и постоянная интегрирования равны 0, но оба могут быть указаны:

>>> p.integ(lbnd=-1)
Polynomial([-1.,  2.,  3.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])
>>> p.integ(lbnd=-1, k=1)
Polynomial([ 0.,  2.,  3.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

В первом случае нижняя граница интегрирования установлена в -1, а постоянная интегрирования — в 0. Во втором случае постоянная интегрирования также установлена в 1. Дифференцирование проще, так как единственным параметром является число раз, когда полином дифференцируется:

>>> p = P([1, 2, 3])
>>> p.deriv(1)
Polynomial([ 2.,  6.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])
>>> p.deriv(2)
Polynomial([ 6.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Другие конструкторы полиномов

Создание полиномов путём указания коэффициентов — это только один способ получения экземпляра полинома, они также могут быть созданы путём указания их корней, путём преобразования из других типов полиномов и путём наименьших квадратов. Подгонка обсуждается в отдельном разделе, другие методы показаны ниже:

>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> p = P.fromroots([1, 2, 3])
>>> p
Polynomial([ -6.,  11.,  -6.,   1.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])
>>> p.convert(kind=T)
Chebyshev([ -9.  ,  11.75,  -3.  ,   0.25], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Метод convert также может преобразовать область определения и окно:

>>> p.convert(kind=T, domain=[0, 1])
Chebyshev([-2.4375 ,  2.96875, -0.5625 ,  0.03125], [ 0.,  1.], [-1.,  1.])
>>> p.convert(kind=P, domain=[0, 1])
Polynomial([-1.875,  2.875, -1.125,  0.125], [ 0.,  1.], [-1.,  1.])

В версиях numpy >= 1.7.0 методы basis и cast также доступны. Метод cast работает как метод convert, а метод basis возвращает базисный полином заданной степени:

>>> P.basis(3)
Polynomial([ 0.,  0.,  0.,  1.], [-1.,  1.], [-1.,  1.])
>>> T.cast(p)
Chebyshev([ -9.  ,  11.75,  -3.  ,   0.25], [-1.,  1.], [-1.,  1.])

Преобразования между типами могут быть полезными, но не рекомендуются для повседневного использования. Потеря точности в численном вычислении при переходе от ряда Чебышева степени 50 к ряду Polynomial той же степени может сделать результаты численного оценивания в значительной степени случайными.

Подгонка

Подгонка — это причина, по которой атрибуты domain и window входят в состав удобных классов. Чтобы проиллюстрировать проблему, на графике ниже показаны значения полиномов Чебышева до степени 5.

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> x = np.linspace(-1, 1, 100)
>>> for i in range(6): ax = plt.plot(x, T.basis(i)(x), lw=2, label="$T_%d$"%i)
...
>>> plt.legend(loc="upper left")
<matplotlib.legend.Legend object at 0x3b3ee10>
>>> plt.show()

(Исходный код, png, pdf)

В диапазоне -1 <= x <= 1 они являются хорошими, равнопеременными функциями, лежащими между +/- 1. Те же графики в диапазоне -2 <= x <= 2 выглядят совершенно иначе:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> x = np.linspace(-2, 2, 100)
>>> for i in range(6): ax = plt.plot(x, T.basis(i)(x), lw=2, label="$T_%d$"%i)
...
>>> plt.legend(loc="lower right")
<matplotlib.legend.Legend object at 0x3b3ee10>
>>> plt.show()

(Исходный код, png, pdf)

Как видно, «хорошие» части уменьшились до незначительных значений. При использовании полиномов Чебышева для подгонки мы хотим использовать область, где x находится между -1 и 1, и именно это определяет window. Однако маловероятно, что данные, которые нужно подогнать, будут иметь все точки данных в этом интервале, поэтому мы используем domain для указания интервала, в котором лежат точки данных. При выполнении подгонки область сначала отображается на окно линейным преобразованием, а обычная подгонка по наименьшим квадратам выполняется с использованием отобранных точек данных. Окно и область подгонки являются частью возвращаемого ряда и автоматически используются при вычислении значений, производных и т. п. Если они не указаны в вызове, процедура подгонки будет использовать по умолчанию окно и наименьшую область, содержащую все точки данных. Это иллюстрируется ниже для подгонки к шумящей синусоиде.

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> np.random.seed(11)
>>> x = np.linspace(0, 2*np.pi, 20)
>>> y = np.sin(x) + np.random.normal(scale=.1, size=x.shape)
>>> p = T.fit(x, y, 5)
>>> plt.plot(x, y, 'o')
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x2136c10>]
>>> xx, yy = p.linspace()
>>> plt.plot(xx, yy, lw=2)
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x1cf2890>]
>>> p.domain
array([ 0.        ,  6.28318531])
>>> p.window
array([-1.,  1.])
>>> plt.show()

(Исходный код, png, pdf)