numpy.linalg.svd

numpy.linalg.svd(a, full_matrices=1, compute_uv=1) [source]

Разложение по сингулярным значениям.

Разлагает матрицу a как u * np.diag(s) * v, где u и v являются унитарными, а s — одномерный массив сингулярных значений матрицы.

Параметры:	a : (..., M, N) array_like Вещественная или комплексная матрица формы (M, N) . full_matrices : bool, необязательно Если True (по умолчанию), u и v имеют формы (M, M) и (N, N) соответственно. В противном случае формы составляют (M, K) и (K, N) соответственно, где K = min(M, N). compute_uv : bool, необязательно Вычислять ли u и v дополнительно к s? По умолчанию True.
Возвращает:	u : { (..., M, M), (..., M, K) } array Унитарные матрицы. Фактическая форма зависит от значения full_matrices. Возвращается только когда compute_uv равно True. s : (..., K) array Сингулярные значения для каждой матрицы, отсортированные по убыванию. v : { (..., N, N), (..., K, N) } array Унитарные матрицы. Фактическая форма зависит от значения full_matrices. Возвращается только когда compute_uv равно True.
Исключения:	LinAlgError Если вычисление SVD не сходится.

Примечания

Введено в версии 1.8.0.

Применяются правила вещания, см. документацию numpy.linalg для деталей.

Разложение выполняется с помощью процедуры LAPACK _gesdd.

Разложение по сингулярным значениям обычно записывается как a = U S V.H. v возвращаемое этой функцией, равно V.H и u = U.

Если U — унитарная матрица, это означает, что она удовлетворяет U.H = inv(U).

Строки v — это собственные векторы a.H a. Столбцы u — это собственные векторы a a.H. Для строки i в v и столбца i в u, соответствующее собственное значение равно s[i]**2.

Если a — объект matrix, а не ndarray, то все возвращаемые значения также являются объектами этого типа.

Примеры

>>> a = np.random.randn(9, 6) + 1j*np.random.randn(9, 6)

Восстановление на основе полного разложения по сингулярным значениям:

>>> U, s, V = np.linalg.svd(a, full_matrices=True)
>>> U.shape, V.shape, s.shape
((9, 9), (6, 6), (6,))
>>> S = np.zeros((9, 6), dtype=complex)
>>> S[:6, :6] = np.diag(s)
>>> np.allclose(a, np.dot(U, np.dot(S, V)))
True

Восстановление на основе сокращенного разложения по сингулярным значениям:

>>> U, s, V = np.linalg.svd(a, full_matrices=False)
>>> U.shape, V.shape, s.shape
((9, 6), (6, 6), (6,))
>>> S = np.diag(s)
>>> np.allclose(a, np.dot(U, np.dot(S, V)))
True