numpy.gradient

numpy.gradient(f, *varargs, **kwargs) [source]

Возвращает градиент N-мерного массива.

Градиент вычисляется с использованием центральных разностей второго порядка во внутренних точках и разностей первого или второго порядка (вперед или назад) на границах. Возвращаемый градиент имеет ту же форму, что и входной массив.

Параметры:

Параметры:	f : array_like N-мерный массив, содержащий образцы скалярной функции. varargs : список скаляров или массивов, необязательно Интервал между значениями f. По умолчанию единичный интервал для всех измерений. Шаг может быть задан: одним скаляром для задания расстояния между образцами для всех измерений. N скалярами для задания постоянного расстояния между образцами для каждого измерения. Например, `dx`, `dy`, `dz`, ... N массивами для задания координат значений по каждому измерению массива F. Длина массива должна соответствовать размеру соответствующего измерения Любая комбинация N скаляров/массивов со смыслом пунктов 2. и 3. Если `axis` задано, количество varargs должно быть равно числу осей. По умолчанию: 1. edge_order : {1, 2}, необязательно Градиент вычисляется с использованием разностей N-го порядка на границах. По умолчанию: 1. Новое в версии 1.9.1. axis : None или int или кортеж из целых чисел, необязательно Градиент вычисляется только по заданной оси или осям. По умолчанию (axis = None) вычисляется градиент по всем осям входного массива. axis может быть отрицательным, в этом случае он считается от последней до первой оси. Новое в версии 1.11.0.
Возвращает:	gradient : ndarray или список ndarray Набор ndarrays (или один ndarray, если размерность только одна), соответствующий производным f по каждому измерению. Каждая производная имеет ту же форму, что и f.

f : array_like

N-мерный массив, содержащий образцы скалярной функции.

varargs : список скаляров или массивов, необязательно

Интервал между значениями f. По умолчанию единичный интервал для всех измерений. Шаг может быть задан:

одним скаляром для задания расстояния между образцами для всех измерений.
N скалярами для задания постоянного расстояния между образцами для каждого измерения. Например, dx, dy, dz, ...
N массивами для задания координат значений по каждому измерению массива F. Длина массива должна соответствовать размеру соответствующего измерения
Любая комбинация N скаляров/массивов со смыслом пунктов 2. и 3.

Если axis задано, количество varargs должно быть равно числу осей. По умолчанию: 1.

edge_order : {1, 2}, необязательно

Градиент вычисляется с использованием разностей N-го порядка на границах. По умолчанию: 1.

Новое в версии 1.9.1.

axis : None или int или кортеж из целых чисел, необязательно

Градиент вычисляется только по заданной оси или осям. По умолчанию (axis = None) вычисляется градиент по всем осям входного массива. axis может быть отрицательным, в этом случае он считается от последней до первой оси.

Новое в версии 1.11.0.

Возвращает:

gradient : ndarray или список ndarray

Набор ndarrays (или один ndarray, если размерность только одна), соответствующий производным f по каждому измерению. Каждая производная имеет ту же форму, что и f.

Примечания

Предполагая, что $f\in C^{3}$ (т.е., $f$ имеет как минимум 3 непрерывные производные) и пусть $h_{*}$ является неоднородным шагом, расстояние, по которому вычисляются коэффициенты конечных разностей, определяется путем минимизации погрешности согласованности $\eta_{i}$ .

$\eta_{i} = f_{i}^{\left(1\right)} - \left[ \alpha f\left(x_{i}\right) + \beta f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \gamma f\left(x_{i}-h_{s}\right) \right]$

Подставляя $f(x_{i} + h_{d})$ и $f(x_{i} - h_{s})$ в их разложение в ряд Тейлора, это приводит к решению следующей системы линейных уравнений:

$\left\{ \begin{array}{r} \alpha+\beta+\gamma=0 \\ -\beta h_{d}+\gamma h_{s}=1 \\ \beta h_{d}^{2}+\gamma h_{s}^{2}=0 \end{array} \right.$

Полученное приближение $f_{i}^{(1)}$ имеет следующий вид:

$\hat f_{i}^{(1)} = \frac{ h_{s}^{2}f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \left(h_{d}^{2} - h_{s}^{2}\right)f\left(x_{i}\right) - h_{d}^{2}f\left(x_{i}-h_{s}\right)} { h_{s}h_{d}\left(h_{d} + h_{s}\right)} + \mathcal{O}\left(\frac{h_{d}h_{s}^{2} + h_{s}h_{d}^{2}}{h_{d} + h_{s}}\right)$

Стоит отметить, что если $h_{s}=h_{d}$ (т.е., данные равномерно распределены), мы получаем стандартное приближение второго порядка:

$\hat f_{i}^{(1)}= \frac{f\left(x_{i+1}\right) - f\left(x_{i-1}\right)}{2h} + \mathcal{O}\left(h^{2}\right)$

Аналогичным образом можно вывести приближения вперед/назад, используемые для границ.

Ссылки

[R21]

Quarteroni A., Sacco R., Saleri F. (2007) Численные методы (Тексты по прикладной математике). Нью-Йорк: Springer.

[R22]

Durran D. R. (1999) Численные методы для волновых уравнений в геофизической динамике. Нью-Йорк: Springer.

[R23]

Fornberg B. (1988) Генерация формул конечных разностей на произвольно распределенных сетках, Математика вычислений 51, № 184: 699-706. PDF.

Примеры

>>> f = np.array([1, 2, 4, 7, 11, 16], dtype=np.float)
>>> np.gradient(f)
array([ 1. ,  1.5,  2.5,  3.5,  4.5,  5. ])
>>> np.gradient(f, 2)
array([ 0.5 ,  0.75,  1.25,  1.75,  2.25,  2.5 ])

Шаг также можно задать массивом, представляющим координаты значений F вдоль измерений. Например, равномерный шаг:

>>> x = np.arange(f.size)
>>> np.gradient(f, x)
array([ 1. ,  1.5,  2.5,  3.5,  4.5,  5. ])

Или неравномерный:

>>> x = np.array([0., 1., 1.5, 3.5, 4., 6.], dtype=np.float)
>>> np.gradient(f, x)
array([ 1. ,  3. ,  3.5,  6.7,  6.9,  2.5])

Для двумерных массивов возвращаемые значения будут двумя массивами, упорядоченными по оси. В этом примере первый массив соответствует градиенту по строкам, а второй — по столбцам:

>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=np.float))
[array([[ 2.,  2., -1.],
        [ 2.,  2., -1.]]), array([[ 1. ,  2.5,  4. ],
        [ 1. ,  1. ,  1. ]])]

В этом примере шаг также указан: равномерный для оси=0 и неравномерный для оси=1

>>> dx = 2.
>>> y = [1., 1.5, 3.5]
>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=np.float), dx, y)
[array([[ 1. ,  1. , -0.5],
        [ 1. ,  1. , -0.5]]), array([[ 2. ,  2. ,  2. ],
        [ 2. ,  1.7,  0.5]])]

Можно указать, как обрабатываются границы, используя edge_order

>>> x = np.array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> f = x**2
>>> np.gradient(f, edge_order=1)
array([ 1.,  2.,  4.,  6.,  7.])
>>> np.gradient(f, edge_order=2)
array([-0.,  2.,  4.,  6.,  8.])

Ключевое слово axis может быть использовано для задания подмножества осей, по которым вычисляется градиент

>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=np.float), axis=0)
array([[ 2.,  2., -1.],
       [ 2.,  2., -1.]])

© 2008–2017 NumPy Developers
Licensed under the NumPy License.
https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.13.0/reference/generated/numpy.gradient.html