numpy.linalg.eig

numpy.linalg.eig(a) [source]

Вычисление собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы.

Параметры:	a : (…, M, M) массив Матрицы, для которых будут вычислены собственные значения и собственные векторы
Возвращаемые значения:	w : (…, M) массив Собственные значения, каждое повторяется в соответствии с его кратностью. Собственные значения не обязательно упорядочены. Результирующий массив будет комплексного типа, если мнимая часть не равна нулю, в противном случае он будет преобразован к вещественному типу. Когда a является вещественной, результирующие собственные значения будут вещественными (0 мнимая часть) или встречаются в сопряженных парах v : (…, M, M) массив Нормализованные (единичной «длины») собственные векторы, такие что столбец v[:,i] является собственным вектором, соответствующим собственному значению w[i].
Исключения:	LinAlgError Если вычисление собственных значений не сходится.

См. также

eigvals

собственные значения несимметричной матрицы.

eigh

собственные значения и собственные векторы симметричной или эрмитовой (сопряженно-симметричной) матрицы.

eigvalsh

собственные значения симметричной или эрмитовой (сопряженно-симметричной) матрицы.

Примечания

Новое в версии 1.8.0.

Применяются правила трансляции, см. numpy.linalg документацию для получения подробной информации.

Это реализовано с использованием подпрограмм LAPACK _geev, которые вычисляют собственные значения и собственные векторы произвольных квадратных матриц.

Число w является собственным значением a, если существует вектор v, такой что dot(a,v) = w * v. Таким образом, массивы a, w, и v удовлетворяют уравнениям dot(a[:,:], v[:,i]) = w[i] * v[:,i] для .

Массив v собственных векторов может не иметь максимального ранга, то есть некоторые из столбцов могут быть линейно зависимыми, хотя погрешность округления может это скрыть. Если все собственные значения различны, то теоретически собственные векторы линейно независимы. Аналогично, (комплекснозначная) матрица собственных векторов v является унитарной, если матрица a является нормальной, т. е. если dot(a, a.H) = dot(a.H, a), где a.H обозначает сопряженно-транспонированную матрицу a.

Наконец, следует подчеркнуть, что v состоит из правых (как в правой части) собственных векторов матрицы a. Вектор y, удовлетворяющий dot(y.T, a) = z * y.T для некоторого числа z , называется левым собственным вектором матрицы a, и, вообще говоря, левые и правые собственные векторы матрицы не обязательно являются (возможно сопряженными) транспонированными друг к другу.

Ссылки

Г. Стрэнг, Линейная алгебра и ее приложения, 2-е изд., Орландо, Флорида, Издательство Academic Press, Inc., 1980, Различные страницы.

Примеры

>>> from numpy import linalg as LA

(Почти) тривиальный пример с вещественными собственными значениями и собственными векторами.

>>> w, v = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
>>> w; v
array([ 1.,  2.,  3.])
array([[ 1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  1.]])

Вещественная матрица с комплексными собственными значениями и собственными векторами; обратите внимание, что собственные значения являются комплексными сопряженными друг к другу.

>>> w, v = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]]))
>>> w; v
array([ 1. + 1.j,  1. - 1.j])
array([[ 0.70710678+0.j        ,  0.70710678+0.j        ],
       [ 0.00000000-0.70710678j,  0.00000000+0.70710678j]])

Комплекснозначная матрица с вещественными собственными значениями (но комплексными собственными векторами); обратите внимание, что a.conj().T = a, т. е. a — эрмитова матрица.

>>> a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])
>>> w, v = LA.eig(a)
>>> w; v
array([  2.00000000e+00+0.j,   5.98651912e-36+0.j]) # i.e., {2, 0}
array([[ 0.00000000+0.70710678j,  0.70710678+0.j        ],
       [ 0.70710678+0.j        ,  0.00000000+0.70710678j]])

Будьте осторожны с погрешностью округления!

>>> a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])
>>> # Theor. e-values are 1 +/- 1e-9
>>> w, v = LA.eig(a)
>>> w; v
array([ 1.,  1.])
array([[ 1.,  0.],
       [ 0.,  1.]])