numpy.polynomial.polynomial.polyfit

numpy.polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None) [source]

Наименьшие квадраты подгонки полинома к данным.

Возвращает коэффициенты полинома степени deg , являющегося наилучшей аппроксимацией данных значения y , заданных в точках x. Если y одномерно, возвращаемые коэффициенты также будут одномерными. Если y двумерно, выполняются несколько подгонок, по одной для каждого столбца y, а полученные коэффициенты хранятся в соответствующих столбцах двумерного результата. Подгоняемый(ые) полином(ы) имеют вид

где n равно deg.

Параметры:	x : array_like, форма (M,) Координаты x выборочных (данных) точек M (x[i], y[i]). y : array_like, форма (M,) или (M, K) Координаты y выборочных точек. Несколько наборов выборочных точек, имеющих одинаковые координаты x, могут быть (независимо) подогнаны с помощью одного вызова polyfit, передав для y двумерный массив, содержащий один набор данных в каждом столбце. deg : int или 1-мерный array_like Степень(и) подгоняемых полиномов. Если deg — целое число, все члены до и включая deg-й член включаются в подгонку. Для версий NumPy >= 1.11.0 вместо этого можно использовать список целых чисел, определяющих степени членов, которые нужно включить. rcond : float, необязательно Относительное число обусловленности подгонки. Сингулярные значения, меньшие rcond, по отношению к наибольшему сингулярному значению, будут игнорироваться. Значение по умолчанию равно len(x)*eps, где eps — относительная точность плавающей запятой платформы, примерно 2e-16 в большинстве случаев. full : bool, необязательно Переключатель, определяющий характер значения возврата. Когда False (значение по умолчанию), возвращаются только коэффициенты; когда True, также возвращается диагностическая информация из разложения по сингулярным значениям (используемая для решения матричного уравнения подгонки). w : array_like, форма (M,), необязательно Веса. Если не равно None, вклад каждой точки (x[i],y[i]) в подгонку взвешивается на w[i]. В идеале веса выбираются таким образом, чтобы ошибки произведений w[i]*y[i] имели одинаковую дисперсию. Значение по умолчанию равно None. Введено в версии 1.5.0.
Возвращает:	coef : ndarray, форма (deg + 1,) или (deg + 1, K) Коэффициенты полинома, упорядоченные от меньшей к большей степени. Если y было двумерным, коэффициенты в столбце k из coef представляют полиномиальную подгонку к данным в y’s k-ом столбце. [residuals, rank, singular_values, rcond] : список Эти значения возвращаются только если full = True resid – сумма квадратов остатков наименьших квадратов fit rank – числовой ранг отмасштабированной матрицы Вандермонда sv – сингулярные значения отмасштабированной матрицы Вандермонда rcond – значение rcond. Для более подробной информации см. linalg.lstsq.
Возможные исключения:	RankWarning Вызывается, если матрица в наименьших квадратах подгонки имеет недостаточную ранг. Предупреждение вызывается только если full == False. Предупреждения можно отключить следующим образом: >>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', RankWarning)

См. также

chebfit, legfit, lagfit, hermfit, hermefit

polyval

Вычисляет полином.

polyvander

Матрица Вандермонда для степеней.

linalg.lstsq

Вычисляет наименьшие квадраты подгонки из матрицы.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Вычисляет сплайновые подгонки.

Примечания

Решение — коэффициенты полинома p , минимизирующие сумму взвешенных квадратов ошибок

где — веса. Эта задача решается путем построения (обычно) переопределенного матричного уравнения:

где V — взвешенная псевдо-матрица Вандермонда от x, c — искомые коэффициенты, w — веса, а y — наблюдаемые значения. Это уравнение решается с помощью разложения по сингулярным значениям V.

Если некоторые сингулярные значения V настолько малы, что ими можно пренебречь (и full == False), будет выведено предупреждение RankWarning. Это означает, что значения коэффициентов могут быть плохо определены. Подгонка к полиному более низкой степени обычно избавит от предупреждения (но, возможно, не то, что вам нужно; если у вас есть самостоятельные причины для выбора степени, которая не работает, вам может потребоваться: а) пересмотреть эти причины и/или б) пересмотреть качество ваших данных). Параметр rcond также можно установить на значение, меньшее, чем по умолчанию, но полученная подгонка может быть ложной и иметь большие вклады от погрешности округления.

Полиномиальные подгонки с двойной точностью, как правило, «не удаются» примерно при степени 20. Подгонки, использующие чебышевские или лежандрские ряды, как правило, лучше обусловлены, но многое может зависеть от распределения выборочных точек и гладкости данных. Если качество подгонки недостаточно, сплайны могут быть хорошей альтернативой.

Примеры

>>> from numpy.polynomial import polynomial as P
>>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1]
>>> y = x**3 - x + np.random.randn(len(x)) # x^3 - x + N(0,1) "noise"
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> c # c[0], c[2] should be approx. 0, c[1] approx. -1, c[3] approx. 1
array([ 0.01909725, -1.30598256, -0.00577963,  1.02644286])
>>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results
[array([ 38.06116253]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158,  0.50443316,
0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]

То же самое без добавленного шума

>>> y = x**3 - x
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> c # c[0], c[2] should be "very close to 0", c[1] ~= -1, c[3] ~= 1
array([ -1.73362882e-17,  -1.00000000e+00,  -2.67471909e-16,
         1.00000000e+00])
>>> stats # note the minuscule SSR
[array([  7.46346754e-31]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158,
0.50443316,  0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]