numpy.random.gumbel

numpy.random.gumbel(loc=0.0, scale=1.0, size=None)

Генерация выборок из распределения Гумбеля.

Генерация выборок из распределения Гумбеля со заданными параметрами сдвига и масштаба. Дополнительная информация о распределении Гумбеля приведена в примечаниях и ссылках ниже.

Параметры:

loc : float или array_like чисел с плавающей точкой, необязательно Параметр сдвига, определяющий положение моды распределения. По умолчанию 0. scale : float или array_like чисел с плавающей точкой, необязательно Параметр масштаба распределения. По умолчанию 1. size : целое число или кортеж целых чисел, необязательно Форма выходного массива. Если заданная форма, например, (m, n, k), то m * n * k выборок генерируется. Если size не указан (по умолчанию), то возвращается единственное значение, если loc и scale являются скалярами. В противном случае, np.broadcast(loc, scale).size выборок генерируется.

Возвращает:

out : ndarray или скаляр Сгенерированные выборки из распределения Гумбеля с заданными параметрами.

См. также

scipy.stats.gumbel_l, scipy.stats.gumbel_r, scipy.stats.genextreme, weibull

Примечания

Распределение Гумбеля (или распределение наименьшего экстремального значения (SEV) или распределение наименьшего экстремального значения типа I) — одно из класса распределений обобщённых экстремальных значений (GEV), используемых для моделирования экстремальных значений. Распределение Гумбеля является частным случаем распределения экстремального значения типа I для максимумов из распределений с «экспоненциально убывающими» хвостами.

Функция плотности вероятности для распределения Гумбеля:

где — мода (параметр сдвига), а — параметр масштаба.

Распределение Гумбеля (названное в честь немецкого математика Эмиля Юлиуса Гумбеля) было применено в литературе по гидрологии для моделирования наводнений. Оно также используется для моделирования максимальной скорости ветра и интенсивности осадков. Это «распределение с тяжёлыми хвостами» — вероятность события в хвосте распределения выше, чем при использовании Гауссова распределения, отсюда и неожиданно частое возникновение 100-летних наводнений. Наводнения первоначально моделировались как гауссовский процесс, что недооценивало частоту экстремальных событий.

Это одно из распределений класса экстремальных распределений, распределений обобщённых экстремальных значений (GEV), которое также включает в себя распределение Вейбулла и распределение Фреше.

Математическое ожидание функции равно , а дисперсия равна .

Ссылки

[R232]

Gumbel, E. J., «Statistics of Extremes», New York: Columbia University Press, 1958.

[R233]

Reiss, R.-D. and Thomas, M., «Statistical Analysis of Extreme Values from Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields», Basel: Birkhauser Verlag, 2001.

Примеры

Генерация выборок из распределения:

>>> mu, beta = 0, 0.1 # location and scale
>>> s = np.random.gumbel(mu, beta, 1000)

Отображение гистограммы выборок вместе с функцией плотности вероятности:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> count, bins, ignored = plt.hist(s, 30, normed=True)
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp( -np.exp( -(bins - mu) /beta) ),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.show()

Иллюстрация того, как распределение экстремальных значений может возникать из гауссовского процесса, и сравнение с гауссовым распределением:

>>> means = []
>>> maxima = []
>>> for i in range(0,1000) :
...    a = np.random.normal(mu, beta, 1000)
...    means.append(a.mean())
...    maxima.append(a.max())
>>> count, bins, ignored = plt.hist(maxima, 30, normed=True)
>>> beta = np.std(maxima) * np.sqrt(6) / np.pi
>>> mu = np.mean(maxima) - 0.57721*beta
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp(-np.exp(-(bins - mu)/beta)),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.plot(bins, 1/(beta * np.sqrt(2 * np.pi))
...          * np.exp(-(bins - mu)**2 / (2 * beta**2)),
...          linewidth=2, color='g')
>>> plt.show()