numpy.gradient

numpy.gradient(f, *varargs, **kwargs) [source]

Возвращает градиент N-мерного массива.

Градиент вычисляется с использованием центральных разностей второго порядка во внутренних точках и односторонних (вперед или назад) разностей первого или второго порядка на границах. Возвращаемый градиент имеет ту же форму, что и входной массив.

Параметры:

Параметры:	`f : array_like` N-мерный массив, содержащий образцы скалярной функции. `varargs : list of scalar or array, optional` Расстояние между значениями f. По умолчанию единичное расстояние для всех измерений. Расстояние можно указать следующим образом: единичное скалярное значение для задания расстояния между образцами для всех измерений. N скалярных значений для задания постоянного расстояния между образцами для каждого измерения. Например, `dx`, `dy`, `dz`, … N массивов для задания координат значений вдоль каждого измерения F. Длина массива должна соответствовать размеру соответствующего измерения Любое сочетание N скаляров/массивов, имеющих смысл пунктов 2. и 3. Если `axis` задано, число аргументов должно равняться числу осей. По умолчанию: 1. `edge_order : {1, 2}, optional` Градиент вычисляется с использованием разностей N-го порядка на границах. По умолчанию: 1. Введено в версии 1.9.1. `axis : None or int or tuple of ints, optional` Градиент вычисляется только вдоль заданной оси или осей. По умолчанию (axis = None) вычисляется градиент для всех осей входного массива. axis может быть отрицательным, в этом случае он считает от последней до первой оси. Введено в версии 1.11.0.
Возвращает:	`gradient : ndarray or list of ndarray` Набор ndarrays (или один ndarray, если имеется только одно измерение), соответствующий производным f по каждому измерению. Каждая производная имеет ту же форму, что и f.

f : array_like

N-мерный массив, содержащий образцы скалярной функции.

varargs : list of scalar or array, optional

Расстояние между значениями f. По умолчанию единичное расстояние для всех измерений. Расстояние можно указать следующим образом:

единичное скалярное значение для задания расстояния между образцами для всех измерений.
N скалярных значений для задания постоянного расстояния между образцами для каждого измерения. Например, dx, dy, dz, …
N массивов для задания координат значений вдоль каждого измерения F. Длина массива должна соответствовать размеру соответствующего измерения
Любое сочетание N скаляров/массивов, имеющих смысл пунктов 2. и 3.

Если axis задано, число аргументов должно равняться числу осей. По умолчанию: 1.

edge_order : {1, 2}, optional

Градиент вычисляется с использованием разностей N-го порядка на границах. По умолчанию: 1.

Введено в версии 1.9.1.

axis : None or int or tuple of ints, optional

Градиент вычисляется только вдоль заданной оси или осей. По умолчанию (axis = None) вычисляется градиент для всех осей входного массива. axis может быть отрицательным, в этом случае он считает от последней до первой оси.

Введено в версии 1.11.0.

Возвращает:

gradient : ndarray or list of ndarray: Набор ndarrays (или один ndarray, если имеется только одно измерение), соответствующий производным f по каждому измерению. Каждая производная имеет ту же форму, что и f.

Примечания

Предполагая, что $f\in C^{3}$ (т.е. $f$ имеет по крайней мере 3 непрерывные производные) и пусть $h_{*}$ — неоднородный шаг, мы минимизируем «ошибку согласованности» $\eta_{i}$ между истинным градиентом и его оценкой из линейной комбинации соседних узлов сетки:

$\eta_{i} = f_{i}^{\left(1\right)} - \left[ \alpha f\left(x_{i}\right) + \beta f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \gamma f\left(x_{i}-h_{s}\right) \right]$

Подставляя $f(x_{i} + h_{d})$ и $f(x_{i} - h_{s})$ в их разложение в ряд Тейлора, это приводит к решению следующей линейной системы:

$\left\{ \begin{array}{r} \alpha+\beta+\gamma=0 \\ \beta h_{d}-\gamma h_{s}=1 \\ \beta h_{d}^{2}+\gamma h_{s}^{2}=0 \end{array} \right.$

Результат приближения $f_{i}^{(1)}$ выглядит следующим образом:

$\hat f_{i}^{(1)} = \frac{ h_{s}^{2}f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \left(h_{d}^{2} - h_{s}^{2}\right)f\left(x_{i}\right) - h_{d}^{2}f\left(x_{i}-h_{s}\right)} { h_{s}h_{d}\left(h_{d} + h_{s}\right)} + \mathcal{O}\left(\frac{h_{d}h_{s}^{2} + h_{s}h_{d}^{2}}{h_{d} + h_{s}}\right)$

Стоит отметить, что если $h_{s}=h_{d}$ (т.е. данные равномерно распределены), мы получаем стандартное приближение второго порядка:

$\hat f_{i}^{(1)}= \frac{f\left(x_{i+1}\right) - f\left(x_{i-1}\right)}{2h} + \mathcal{O}\left(h^{2}\right)$

Аналогичным образом можно получить приближения вперед/назад, используемые для границ.

Ссылки

[1]	Квартеррони А., Сакко Р., Салери Ф. (2007) Численные методы (Тексты по прикладной математике). Нью-Йорк: Спрингер.

[2]	Дурран Д. Р. (1999) Численные методы для волновых уравнений в геофизической гидродинамике. Нью-Йорк: Спрингер.

[3]	Форнберг Б. (1988) Генерация формул конечных разностей на произвольно расположенных сетках, Математика вычислений 51, № 184: 699-706. PDF.

Примеры

>>> f = np.array([1, 2, 4, 7, 11, 16], dtype=float)
>>> np.gradient(f)
array([ 1. ,  1.5,  2.5,  3.5,  4.5,  5. ])
>>> np.gradient(f, 2)
array([ 0.5 ,  0.75,  1.25,  1.75,  2.25,  2.5 ])

Расстояние также можно указать массивом, который представляет координаты значений F вдоль измерений. Например, равномерное расстояние:

>>> x = np.arange(f.size)
>>> np.gradient(f, x)
array([ 1. ,  1.5,  2.5,  3.5,  4.5,  5. ])

Или неравномерное:

>>> x = np.array([0., 1., 1.5, 3.5, 4., 6.], dtype=float)
>>> np.gradient(f, x)
array([ 1. ,  3. ,  3.5,  6.7,  6.9,  2.5])

Для двумерных массивов возвращаемые значения будут двумя массивами, упорядоченными по оси. В этом примере первый массив представляет градиент по строкам, а второй — по столбцам:

>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=float))
[array([[ 2.,  2., -1.],
        [ 2.,  2., -1.]]), array([[ 1. ,  2.5,  4. ],
        [ 1. ,  1. ,  1. ]])]

В этом примере расстояние также задается: равномерное для оси = 0 и неравномерное для оси = 1

>>> dx = 2.
>>> y = [1., 1.5, 3.5]
>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=float), dx, y)
[array([[ 1. ,  1. , -0.5],
        [ 1. ,  1. , -0.5]]), array([[ 2. ,  2. ,  2. ],
        [ 2. ,  1.7,  0.5]])]

Можно указать, как обрабатываются границы, используя edge_order

>>> x = np.array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> f = x**2
>>> np.gradient(f, edge_order=1)
array([ 1.,  2.,  4.,  6.,  7.])
>>> np.gradient(f, edge_order=2)
array([-0.,  2.,  4.,  6.,  8.])

Ключевое слово axis может быть использовано для задания подмножества осей, для которых вычисляется градиент

>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=float), axis=0)
array([[ 2.,  2., -1.],
       [ 2.,  2., -1.]])

© 2005–2019 NumPy Developers
Licensed under the 3-clause BSD License.
https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.15.4/reference/generated/numpy.gradient.html