numpy.linalg.eig

numpy.linalg.eig(a) [source]

Вычисление собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы.

Параметры:	a : (…, M, M) array Матрицы, для которых будут вычислены собственные значения и собственные векторы
Возвращает:	w : (…, M) array Собственные значения, каждое повторяется в соответствии с его кратностью. Собственные значения не обязательно упорядочены. Результирующий массив будет комплексного типа, если мнимая часть не равна нулю, в противном случае он будет приведён к вещественному типу. Когда a вещественная, полученные собственные значения будут вещественными (с мнимой частью 0) или встречаться в сопряжённых парах v : (…, M, M) array Нормализованные (единичной «длины») собственные векторы, такие, что столбец v[:,i] является собственным вектором, соответствующим собственному значению w[i].
Возбуждает:	LinAlgError Если вычисление собственных значений не сходится.

См. также

eigvals

собственные значения несимметричной матрицы.

eigh

собственные значения и собственные векторы симметричной или эрмитовой (сопряжённо-симметричной) матрицы.

eigvalsh

собственные значения симметричной или эрмитовой (сопряжённо-симметричной) матрицы.

Примечания

Новое в версии 1.8.0.

Применяются правила векторизации, см. документацию по numpy.linalg для получения подробностей.

Реализовано с использованием подпрограмм _geev LAPACK, которые вычисляют собственные значения и собственные векторы произвольных квадратных матриц.

Число w является собственным значением a, если существует вектор v, такой, что dot(a,v) = w * v. Таким образом, массивы a, w, и v удовлетворяют уравнениям dot(a[:,:], v[:,i]) = w[i] * v[:,i] для .

Массив v собственных векторов может не иметь максимального ранга, т. е. некоторые столбцы могут быть линейно зависимыми, хотя ошибка округления может это скрыть. Если собственные значения все разные, то теоретически собственные векторы линейно независимы. Аналогично, (комплекснозначная) матрица собственных векторов v является унитарной, если матрица a является нормальной, т. е. если dot(a, a.H) = dot(a.H, a), где a.H обозначает сопряжённо-транспонированную матрицу a.

Наконец, следует подчеркнуть, что v состоит из правых (как в правой части) собственных векторов a. Вектор y удовлетворяющий dot(y.T, a) = z * y.T для некоторого числа z называется левым собственным вектором a, и, вообще говоря, левые и правые собственные векторы матрицы не обязательно являются (возможно, сопряжёнными) транспонированными друг друга.

Литература

Г. Стрэнг, Линейная алгебра и её приложения, 2-е изд., Орландо, Флорида, Издательство Academic Press, Inc., 1980, Различные страницы.

Примеры

>>> from numpy import linalg as LA

(Практически) тривиальный пример с вещественными собственными значениями и собственными векторами.

>>> w, v = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
>>> w; v
array([ 1.,  2.,  3.])
array([[ 1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  1.]])

Вещественная матрица с комплексными собственными значениями и собственными векторами; обратите внимание, что собственные значения являются комплексными сопряжёнными друг другу.

>>> w, v = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]]))
>>> w; v
array([ 1. + 1.j,  1. - 1.j])
array([[ 0.70710678+0.j        ,  0.70710678+0.j        ],
       [ 0.00000000-0.70710678j,  0.00000000+0.70710678j]])

Комплекснозначная матрица с вещественными собственными значениями (но комплексными собственными векторами); обратите внимание, что a.conj().T = a, т. е. a является эрмитовой.

>>> a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])
>>> w, v = LA.eig(a)
>>> w; v
array([  2.00000000e+00+0.j,   5.98651912e-36+0.j]) # i.e., {2, 0}
array([[ 0.00000000+0.70710678j,  0.70710678+0.j        ],
       [ 0.70710678+0.j        ,  0.00000000+0.70710678j]])

Будьте осторожны с ошибками округления!

>>> a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])
>>> # Theor. e-values are 1 +/- 1e-9
>>> w, v = LA.eig(a)
>>> w; v
array([ 1.,  1.])
array([[ 1.,  0.],
       [ 0.,  1.]])