numpy.polynomial.polynomial.polyfit

numpy.polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None) [source]

Наименьшие квадраты подгонки полинома к данным.

Возвращает коэффициенты полинома степени deg , являющегося наименьшим квадратичным приближением к значениям данных y , заданным в точках x. Если y является одномерным, возвращаемые коэффициенты также будут одномерными. Если y является двумерным, выполняется несколько подгонок, по одной для каждого столбца y, и результирующие коэффициенты хранятся в соответствующих столбцах двумерного возвращаемого значения. Приближаемый полином(ы) находятся в виде

где n равно deg.

Параметры:	x : array_like, shape (M,) Координаты x образца (данных) точек M (x[i], y[i]). y : array_like, shape (M,) or (M, K) Координаты y точек выборки. Несколько наборов точек выборки, имеющих одинаковые координаты x, могут быть (независимо) подогнаны с помощью одного вызова polyfit путем передачи в y двумерного массива, содержащего по одному набору данных в каждом столбце. deg : int or 1-D array_like Степень(и) подгоняемых полиномов. Если deg - это целое число, все члены вплоть до и включая deg член включены в подгонку. Для версий NumPy >= 1.11.0 вместо этого может использоваться список целых чисел, определяющих степени членов, которые следует включить. rcond : float, optional Относительное число обусловленности подгонки. Сингулярные значения, меньшие rcond, по отношению к наибольшему сингулярному значению, будут проигнорированы. Значение по умолчанию равно len(x)*eps, где eps — относительная точность плавающей точки платформы, примерно 2e-16 в большинстве случаев. full : bool, optional Переключатель, определяющий характер возвращаемого значения. Когда False (значение по умолчанию) возвращаются только коэффициенты; когда True, также возвращается диагностическая информация из разложения по сингулярным значениям (используется для решения матричного уравнения подгонки). w : array_like, shape (M,), optional Веса. Если не None, вклад каждой точки (x[i],y[i]) в подгонку взвешивается значением w[i]. В идеале веса выбираются таким образом, чтобы ошибки произведений w[i]*y[i] имели одинаковую дисперсию. Значение по умолчанию равно None. Новое в версии 1.5.0.
Возвращает:	coef : ndarray, shape (deg + 1,) or (deg + 1, K) Коэффициенты полинома, упорядоченные от низшего к высшему. Если y было двумерным, коэффициенты в столбце k из coef представляют собой полиномиальную подгонку к данным в y -ом столбце. [residuals, rank, singular_values, rcond] : list Эти значения возвращаются только если full = True resid – сумма квадратов остатков наименьших квадратов; rank – числовая ранг матрицы обращенного Вандермонда; sv – сингулярные значения матрицы обращенного Вандермонда; rcond – значение rcond. Для более подробной информации см. linalg.lstsq.
Возбуждает:	RankWarning Возбуждается, если матрица в наименьших квадратах имеет недостаточную ранг. Предупреждение генерируется только если full == False. Предупреждения можно отключить следующим образом: >>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', RankWarning)

См. также

chebfit, legfit, lagfit, hermfit, hermefit

polyval

Вычисляет полином.

polyvander

Матрица Вандермонда для степеней.

linalg.lstsq

Вычисляет подгонку наименьших квадратов из матрицы.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Вычисляет сплайн-подгонку.

Примечания

Решение — это коэффициенты полинома p, который минимизирует сумму взвешенных квадратов ошибок

где — веса. Эта задача решается путем задания (обычно) переопределенного матричного уравнения:

где V — взвешенная матрица Вандермонда x, c — коэффициенты, подлежащие решению, w — веса, а y — наблюдаемые значения. Это уравнение затем решается с помощью разложения по сингулярным значениям V.

Если некоторые сингулярные значения V настолько малы, что ими можно пренебречь (и full == False), будет возбуждено предупреждение RankWarning. Это означает, что значения коэффициентов могут быть плохо определены. Подгонка к полиному более низкой степени обычно устраняет предупреждение (но, возможно, это не то, что вы хотите; если у вас есть независимые причины для выбора степени, которая не работает, вам может потребоваться: а) пересмотреть эти причины и/или б) пересмотреть качество ваших данных). Параметр rcond также может быть установлен на значение, меньшее, чем значение по умолчанию, но полученная подгонка может быть ложной и иметь большие вклады из-за погрешности округления.

Полиномиальные подгонки с двойной точностью, как правило, «выходят из строя» примерно на степени 20. Подгонки с использованием Чебышева или Лежандра, как правило, лучше обусловлены, но многое может зависеть от распределения точек выборки и гладкости данных. Если качество подгонки недостаточно, сплайны могут быть хорошей альтернативой.

Примеры

>>> from numpy.polynomial import polynomial as P
>>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1]
>>> y = x**3 - x + np.random.randn(len(x)) # x^3 - x + N(0,1) "noise"
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> c # c[0], c[2] should be approx. 0, c[1] approx. -1, c[3] approx. 1
array([ 0.01909725, -1.30598256, -0.00577963,  1.02644286])
>>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results
[array([ 38.06116253]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158,  0.50443316,
0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]

То же самое без добавленного шума

>>> y = x**3 - x
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> c # c[0], c[2] should be "very close to 0", c[1] ~= -1, c[3] ~= 1
array([ -1.73362882e-17,  -1.00000000e+00,  -2.67471909e-16,
         1.00000000e+00])
>>> stats # note the minuscule SSR
[array([  7.46346754e-31]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158,
0.50443316,  0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]