numpy.ma.polyfit

numpy.ma.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False) [source]

Наименьшие квадраты для полиномиальной аппроксимации.

Вычисляет полином p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg] степени deg, аппроксимирующий заданные точки (x, y). Возвращает вектор коэффициентов p, минимизирующий среднеквадратичную ошибку в порядке deg, deg-1, … 0.

Для нового кода рекомендуется использовать метод Polynomial.fit, так как он более устойчив численно. Дополнительная информация приведена в документации к методу.

Параметры:	x : array_like, shape (M,) Координаты x M точек выборки (x[i], y[i]). y : array_like, shape (M,) or (M, K) Координаты y точек выборки. Несколько наборов точек выборки с одинаковыми координатами x можно одновременно приблизить, передав двумерный массив, в котором каждый столбец соответствует одному набору данных. deg : int Степень аппроксимирующего полинома rcond : float, optional Относительное число обусловленности аппроксимации. Сингулярные значения, меньшие этого значения по отношению к наибольшему сингулярному значению, будут игнорироваться. Значение по умолчанию равно len(x)*eps, где eps — относительная точность типа float, примерно 2e-16 в большинстве случаев. full : bool, optional Флаг, определяющий тип возвращаемого значения. Если False (по умолчанию), возвращаются только коэффициенты. Если True, возвращается также диагностическая информация из разложения по сингулярным значениям. w : array_like, shape (M,), optional Веса, применяемые к координатам y точек выборки. Для гауссовых погрешностей используйте 1/sigma (а не 1/sigma**2). cov : bool or str, optional Если задано и не False, возвращается не только оценка, но и её ковариационная матрица. По умолчанию ковариации масштабируются на chi2/sqrt(N-dof), т.е. предполагается, что веса ненадежны за исключением относительного масштаба, и все масштабируется таким образом, что приведенная chi2 равна единице. Этот масштабирование опускается, если cov='unscaled', как это актуально для случая, когда веса равны 1/sigma**2, а sigma — надёжная оценка погрешности.
Возвращаемые значения:	p : ndarray, shape (deg + 1,) or (deg + 1, K) Коэффициенты полинома, старшая степень сначала. Если y было двумерным, коэффициенты для k-го набора данных находятся в p[:,k]. residuals, rank, singular_values, rcond Присутствуют только если full = True. Остатки наименьших квадратов, эффективный ранг отмасштабированной матрицы коэффициентов Вандермонда, её сингулярные значения и заданное значение rcond. Более подробную информацию см. в linalg.lstsq. V : ndarray, shape (M,M) or (M,M,K) Присутствуют только если full = False и cov`=True. The covariance matrix of the polynomial coefficient estimates. The diagonal of this matrix are the variance estimates for each coefficient. If y is a 2-D array, then the covariance matrix for the `k-го набора данных находятся в V[:,:,k]
Предупреждения:	RankWarning Ранг матрицы коэффициентов в наименьших квадратах недостаточен. Предупреждение выводится только если full = False. Предупреждения можно отключить, выполнив >>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

См. также

polyval

Вычислить значения полинома.

linalg.lstsq

Вычисляет аппроксимацию наименьших квадратов.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Вычисляет сплайн-аппроксимации.

Примечания

Любые значения, скрытые в x, переносятся и на y, и наоборот.

Решение минимизирует среднеквадратичную ошибку

в уравнениях:

x[0]**n * p[0] + ... + x[0] * p[n-1] + p[n] = y[0]
x[1]**n * p[0] + ... + x[1] * p[n-1] + p[n] = y[1]
...
x[k]**n * p[0] + ... + x[k] * p[n-1] + p[n] = y[k]

Матрица коэффициентов для коэффициентов p представляет собой матрицу Вандермонда.

polyfit выдаёт предупреждение RankWarning, когда аппроксимация наименьших квадратов плохо обусловлена. Это означает, что лучшая аппроксимация не определена хорошо из-за численной погрешности. Результаты могут быть улучшены уменьшением степени полинома или заменой x на x - x.mean(). Параметр rcond также можно установить на значение меньше его значения по умолчанию, но полученная аппроксимация может быть ложной: включение вклада малых сингулярных значений может добавить численной шума к результату.

Обратите внимание, что вычисление коэффициентов полинома само по себе плохо обусловлено, когда степень полинома велика или интервал точек выборки плохо центрирован. В таких случаях всегда следует проверять качество аппроксимации. Когда полиномиальные аппроксимации неудовлетворительны, сплайны могут быть хорошей альтернативой.

Ссылки

[1]	Википедия, «Аппроксимация кривых», https://ru.wikipedia.org/wiki/Аппроксимация_кривых

[2]	Википедия, «Полиномическая интерполяция», https://ru.wikipedia.org/wiki/Полиномиальная_интерполяция

Примеры

>>> import warnings
>>> x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
>>> y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])
>>> z = np.polyfit(x, y, 3)
>>> z
array([ 0.08703704, -0.81349206,  1.69312169, -0.03968254]) # may vary

Для работы с полиномами удобно использовать объекты poly1d:

>>> p = np.poly1d(z)
>>> p(0.5)
0.6143849206349179 # may vary
>>> p(3.5)
-0.34732142857143039 # may vary
>>> p(10)
22.579365079365115 # may vary

Полиномы высокой степени могут колебаться сильно:

>>> with warnings.catch_warnings():
...     warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)
...     p30 = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 30))
...
>>> p30(4)
-0.80000000000000204 # may vary
>>> p30(5)
-0.99999999999999445 # may vary
>>> p30(4.5)
-0.10547061179440398 # may vary

Иллюстрация:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> xp = np.linspace(-2, 6, 100)
>>> _ = plt.plot(x, y, '.', xp, p(xp), '-', xp, p30(xp), '--')
>>> plt.ylim(-2,2)
(-2, 2)
>>> plt.show()