numpy.polyfit

numpy.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False) [source]

Наименьшие квадраты полиномиальной подгонки.

Подбирает полином p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg] степени deg к точкам (x, y). Возвращает вектор коэффициентов p, которые минимизируют среднеквадратичную ошибку в порядке deg, deg-1, … 0.

Для нового кода рекомендуется метод Polynomial.fit, так как он более устойчив численно. Более подробную информацию см. в документации к методу.

Параметры:	x : array_like, shape (M,) Координаты x M выборочных точек (x[i], y[i]). y : array_like, shape (M,) or (M, K) Координаты y выборочных точек. Несколько наборов выборочных точек с одинаковыми координатами x могут быть подогнаны одновременно, передав двумерный массив, содержащий по одному набору данных в каждом столбце. deg : int Степень подгоняемого полинома rcond : float, optional Относительное число обусловленности подгонки. Сингулярные значения, меньшие этого относительного значения по отношению к наибольшему сингулярному значению, будут проигнорированы. Значение по умолчанию равно len(x)*eps, где eps — относительная точность типа float, примерно 2e-16 в большинстве случаев. full : bool, optional Переключатель, определяющий характер возвращаемого значения. При значении False (по умолчанию) возвращаются только коэффициенты, при значении True — также диагностическая информация из разложения по сингулярным значениям. w : array_like, shape (M,), optional Веса, применяемые к координатам y выборочных точек. Для гауссовых неопределённостей используйте 1/sigma (а не 1/sigma**2). cov : bool or str, optional Если задано и не False, возвращается не только оценка, но и её ковариационная матрица. По умолчанию ковариации масштабируются на chi2/sqrt(N-dof), т. е. предполагается, что веса ненадежны за исключением относительного смысла, и всё масштабируется таким образом, чтобы уменьшенное chi2 было равно единице. Это масштабирование опущено, если cov='unscaled', что актуально для случая, когда веса равны 1/sigma**2, причём sigma является надёжной оценкой неопределённости.
Возвращает:	p : ndarray, shape (deg + 1,) or (deg + 1, K) Коэффициенты полинома, старшая степень впереди. Если y был двумерным, коэффициенты для k-го набора данных находятся в p[:,k]. residuals, rank, singular_values, rcond Присутствуют только если full = True. Остатки наименьших квадратов, эффективный ранг масштабированной матрицы коэффициентов Вандермонда, её сингулярные значения и указанное значение rcond. Для более подробной информации см. linalg.lstsq. V : ndarray, shape (M,M) or (M,M,K) Присутствуют только если full = False и cov`=True. The covariance matrix of the polynomial coefficient estimates. The diagonal of this matrix are the variance estimates for each coefficient. If y is a 2-D array, then the covariance matrix for the `k-го набора данных в V[:,:,k]
Предупреждения:	RankWarning Ранг матрицы коэффициентов в аппроксимации наименьших квадратов недостаточный. Предупреждение выдаётся только если full = False. Предупреждения можно отключить, выполнив >>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

См. также

polyval

Вычисление значений полинома.

linalg.lstsq

Вычисляет приближение наименьших квадратов.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Вычисляет аппроксимации сплайнами.

Примечания

Решение минимизирует среднеквадратичную ошибку

в уравнениях:

x[0]**n * p[0] + ... + x[0] * p[n-1] + p[n] = y[0]
x[1]**n * p[0] + ... + x[1] * p[n-1] + p[n] = y[1]
...
x[k]**n * p[0] + ... + x[k] * p[n-1] + p[n] = y[k]

Матрица коэффициентов коэффициентов p является матрицей Вандермонда.

polyfit выводит предупреждение RankWarning, когда аппроксимация наименьших квадратов плохо обусловлена. Это означает, что наилучшая аппроксимация не определена из-за численной ошибки. Результаты можно улучшить, уменьшив степень полинома или заменив x на x - x.mean(). Параметр rcond также можно установить на значение, меньшее его значения по умолчанию, но полученная подгонка может быть ложной: включение вклада от малых сингулярных значений может добавить шумы в результат.

Обратите внимание, что подгонка полиномиальных коэффициентов изначально плохо обусловлена, когда степень полинома велика или интервал выборочных точек плохо центрирован. В таких случаях всегда следует проверять качество подгонки. Когда полиномиальные подгонки неудовлетворительны, сплайны могут быть хорошей альтернативой.

Ссылки

[1]	Википедия, “Подгонка кривых”, https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

[2]	Википедия, “Полиномическая интерполяция”, https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

Примеры

>>> import warnings
>>> x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
>>> y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])
>>> z = np.polyfit(x, y, 3)
>>> z
array([ 0.08703704, -0.81349206,  1.69312169, -0.03968254]) # may vary

Для работы с полиномами удобно использовать объекты poly1d:

>>> p = np.poly1d(z)
>>> p(0.5)
0.6143849206349179 # may vary
>>> p(3.5)
-0.34732142857143039 # may vary
>>> p(10)
22.579365079365115 # may vary

Полиномы высокой степени могут сильно колебаться:

>>> with warnings.catch_warnings():
...     warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)
...     p30 = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 30))
...
>>> p30(4)
-0.80000000000000204 # may vary
>>> p30(5)
-0.99999999999999445 # may vary
>>> p30(4.5)
-0.10547061179440398 # may vary

Иллюстрация:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> xp = np.linspace(-2, 6, 100)
>>> _ = plt.plot(x, y, '.', xp, p(xp), '-', xp, p30(xp), '--')
>>> plt.ylim(-2,2)
(-2, 2)
>>> plt.show()