numpy.polynomial.polynomial.polyfit

numpy.polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None) [source]

Наименьшие квадраты для подгонки многочлена к данным.

Возвращает коэффициенты многочлена степени deg , являющегося наилучшей аппроксимацией данных значений y в точках x. Если y одномерно, возвращаемые коэффициенты также будут одномерными. Если y двумерно, выполняются несколько подгонок, по одной для каждого столбца y, и полученные коэффициенты сохраняются в соответствующих столбцах двумерного результата. Подгоняемый(ые) многочлен(ы) имеют вид

где n есть deg.

Параметры

xarray_like, shape (M,)

Координаты x выборочных (данных) точек M (x[i], y[i]).

yarray_like, shape (M,) or (M, K)

Координаты y выборочных точек. Несколько наборов выборочных точек с одинаковыми координатами x могут быть (независимо) подогнаны с помощью одного вызова polyfit путем передачи для y двумерного массива, содержащего по одному набору данных в каждом столбце.

degint or 1-D array_like

Степень(и) подгоняемых многочленов. Если deg является единственным целым числом, все члены до и включая deg-й член включаются в подгонку. Для версий NumPy >= 1.11.0 вместо этого можно использовать список целых чисел, определяющих степени членов, которые следует включить.

rcondfloat, optional

Относительное число обусловленности подгонки. Сингулярные значения, меньшие rcond, по отношению к наибольшему сингулярному значению, будут игнорироваться. Значение по умолчанию равно len(x)*eps, где eps - относительная точность плавающей точки платформы, примерно 2e-16 в большинстве случаев.

fullbool, optional

Переключатель, определяющий характер возвращаемого значения. Когда False (по умолчанию) возвращаются только коэффициенты; когда True, также возвращается диагностическая информация из разложения по сингулярным значениям (используемого для решения матричного уравнения подгонки).

warray_like, shape (M,), optional

Веса. Если не None, вклад каждой точки (x[i],y[i]) в подгонку взвешивается с помощью w[i]. В идеале веса выбираются так, чтобы ошибки произведений w[i]*y[i] имели одинаковую дисперсию. Значение по умолчанию равно None.

Новое в версии 1.5.0.

Возвращает

coefndarray, shape (deg + 1,) or (deg + 1, K)

Коэффициенты многочлена, упорядоченные по возрастанию степени. Если y было двумерным, коэффициенты в столбце k из coef представляют собой многочлен, подогнанный к данным в y-ом столбце.

[residuals, rank, singular_values, rcond]list

Эти значения возвращаются только если full = True

resid – сумма квадратов остатков наименьших квадратов подгонки rank – числовой ранг масштабированной матрицы Вандермонда sv – сингулярные значения масштабированной матрицы Вандермонда rcond – значение rcond.

Для получения более подробной информации см. linalg.lstsq.

Возбуждает

RankWarning

Вызывается, если матрица в подгонке наименьших квадратов имеет недостаточный ранг. Предупреждение вызывается только если full == False. Предупреждения можно отключить, выполнив:

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

См. также

chebfit, legfit, lagfit, hermfit, hermefit

polyval

Вычисляет значение многочлена.

polyvander

Матрица Вандермонда для степеней.

linalg.lstsq

Вычисляет наименьшие квадраты с помощью матрицы.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Вычисляет сплайновые подгонки.

Примечания

Решение — коэффициенты многочлена p , минимизирующие сумму взвешенных квадратов ошибок

где — веса. Эта задача решается путем построения (как правило, переопределённого) матричного уравнения:

где V — взвешенная псевдо-матрица Вандермонда x, c — коэффициенты, которые требуется найти, w — веса, и y — наблюдаемые значения. Это уравнение решается с помощью разложения по сингулярным значениям V.

Если некоторые сингулярные значения V настолько малы, что ими пренебрегают (и full == False ), будет поднято предупреждение RankWarning. Это означает, что значения коэффициентов могут быть определены недостаточно точно. Подгонка к многочлену меньшей степени, как правило, избавляется от предупреждения (но, возможно, не то, что вы хотите; если у вас есть независимые причины выбора степени, которая не работает, вам, возможно, придется: а) пересмотреть эти причины и/или б) пересмотреть качество ваших данных). Параметр rcond также можно установить на значение, меньшее, чем по умолчанию, но полученная подгонка может быть ложной и иметь большой вклад от ошибки округления.

Подгонки многочленов с двойной точностью, как правило, «отказывают» примерно при степени 20. Подгонки с помощью рядов Чебышева или Лежандра обычно лучше обусловлены, но многое может зависеть от распределения выборочных точек и гладкости данных. Если качество подгонки неудовлетворительное, сплайны могут быть хорошей альтернативой.

Примеры

>>> np.random.seed(123)
>>> from numpy.polynomial import polynomial as P
>>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1]
>>> y = x**3 - x + np.random.randn(len(x)) # x^3 - x + N(0,1) "noise"
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> np.random.seed(123)
>>> c # c[0], c[2] should be approx. 0, c[1] approx. -1, c[3] approx. 1
array([ 0.01909725, -1.30598256, -0.00577963,  1.02644286]) # may vary
>>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results
 [array([ 38.06116253]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158,  0.50443316, # may vary
          0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]

То же самое без добавленного шума

>>> y = x**3 - x
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> c # c[0], c[2] should be "very close to 0", c[1] ~= -1, c[3] ~= 1
array([-6.36925336e-18, -1.00000000e+00, -4.08053781e-16,  1.00000000e+00])
>>> stats # note the minuscule SSR
[array([  7.46346754e-31]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158, # may vary
           0.50443316,  0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]