numpy.random.Generator.gumbel

метод

Generator.gumbel(loc=0.0, scale=1.0, size=None)

Генерация выборок из распределения Гумбеля.

Генерирует выборки из распределения Гумбеля со заданными параметрами сдвига и масштаба. Для более подробной информации о распределении Гумбеля, см. Примечания и Ссылки ниже.

Параметры

locfloat or array_like of floats, optional

Смещение моды распределения. По умолчанию 0.

scalefloat or array_like of floats, optional

Параметр масштаба распределения. По умолчанию 1. Должен быть неотрицательным.

sizeint or tuple of ints, optional

Форма выходных данных. Если заданная форма, например, (m, n, k), то m * n * k выборок генерируются. Если размерность None (по умолчанию), возвращается одно значение, если loc и scale являются скалярами. В противном случае, np.broadcast(loc, scale).size выборок генерируются.

Возвращаемое значение

outndarray or scalar

Сгенерированные выборки из распределения Гумбеля с указанными параметрами.

См. также

scipy.stats.gumbel_l, scipy.stats.gumbel_r, scipy.stats.genextreme, weibull

Примечания

Распределение Гумбеля (или распределение наименьшего экстремального значения (SEV) или распределение наименьшего экстремального значения типа I) является одним из класса распределений обобщенных экстремальных значений (GEV), используемых в задачах моделирования экстремальных явлений. Распределение Гумбеля является частным случаем распределения экстремального значения типа I для максимумов из распределений с «экспоненциально-подобными» хвостами.

Плотность вероятности для распределения Гумбеля

где - мода, параметр сдвига, а - параметр масштаба.

Распределение Гумбеля (названное в честь немецкого математика Эмиля Юлиуса Гумбеля) было использовано на ранних этапах в литературе по гидрологии для моделирования наводнений. Оно также используется для моделирования максимальной скорости ветра и интенсивности осадков. Это «толстохвостовое» распределение - вероятность события в хвосте распределения больше, чем если бы использовалась гауссиана, поэтому удивительно часто случаются наводнения 100-летней давности. Изначально наводнения моделировались как гауссовский процесс, что недооценивало частоту экстремальных событий.

Это одно из распределений класса экстремальных значений, обобщенных экстремальных значений (GEV), которое также включает распределение Вейбулла и Фреше.

Математическое ожидание функции равно , а дисперсия равна .

Ссылки

1

Гумбел, Э. Ю., «Статистика экстремальных значений», Нью-Йорк: Издательство Колумбийского университета, 1958.

2

Райсс, Р.-Д. и Томас, М., «Статистический анализ экстремальных значений по страхованию, финансам, гидрологии и другим областям», Базель: Издательство Биркхаузера, 2001.

Примеры

Генерация выборок из распределения:

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> mu, beta = 0, 0.1 # location and scale
>>> s = rng.gumbel(mu, beta, 1000)

Отображение гистограммы выборок вместе с функцией плотности вероятности:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> count, bins, ignored = plt.hist(s, 30, density=True)
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp( -np.exp( -(bins - mu) /beta) ),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.show()

Демонстрация того, как распределение экстремальных значений может возникать из гауссова процесса, и сравнение с гауссовым распределением:

>>> means = []
>>> maxima = []
>>> for i in range(0,1000) :
...    a = rng.normal(mu, beta, 1000)
...    means.append(a.mean())
...    maxima.append(a.max())
>>> count, bins, ignored = plt.hist(maxima, 30, density=True)
>>> beta = np.std(maxima) * np.sqrt(6) / np.pi
>>> mu = np.mean(maxima) - 0.57721*beta
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp(-np.exp(-(bins - mu)/beta)),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.plot(bins, 1/(beta * np.sqrt(2 * np.pi))
...          * np.exp(-(bins - mu)**2 / (2 * beta**2)),
...          linewidth=2, color='g')
>>> plt.show()