numpy.linalg.cholesky

linalg.cholesky(a)[source]

Разложение Холецкого.

Возвращает разложение Холецкого, L * L.H, квадратной матрицы a, где L является нижнетреугольной матрицей, а .H — оператор сопряжённого транспонирования (который является обычным транспонированием, если a вещественнозначная). a должна быть эрмитовой (симметричной, если вещественнозначная) и положительно определённой. Проверка того, что a является эрмитовой, не производится. Кроме того, используются только нижнетреугольные и диагональные элементы a. На самом деле возвращается только L.

Parameters

a(…, M, M) array_like

Эрмитова (симметричная, если все элементы вещественные), положительно определённая входная матрица.

Returns

L(…, M, M) array_like

Верхне- или нижнетреугольная факторная матрица Холецкого от a. Возвращает объект матрицы, если a — объект матрицы.

Raises

LinAlgError

Если разложение не выполняется, например, если a не является положительно определённой.

См. также

scipy.linalg.cholesky

Аналогичная функция в SciPy.

scipy.linalg.cholesky_banded

Разложение Холецкого полосовой эрмитовой положительно определённой матрицы.

scipy.linalg.cho_factor

Разложение Холецкого матрицы, для использования в scipy.linalg.cho_solve.

Примечания

В версии 1.8.0.

Правила вещания применяются, см. документацию по numpy.linalg для получения подробностей.

Разложение Холецкого часто используется как быстрый способ решения

\[A \mathbf{x} = \mathbf{b}\]

(когда A является как эрмитовой/симметричной, так и положительно определённой).

Сначала решаем относительно \(\mathbf{y}\) в

\[L \mathbf{y} = \mathbf{b},\]

а затем относительно \(\mathbf{x}\) в

\[L.H \mathbf{x} = \mathbf{y}.\]

Примеры

>>> A = np.array([[1,-2j],[2j,5]])
>>> A
array([[ 1.+0.j, -0.-2.j],
       [ 0.+2.j,  5.+0.j]])
>>> L = np.linalg.cholesky(A)
>>> L
array([[1.+0.j, 0.+0.j],
       [0.+2.j, 1.+0.j]])
>>> np.dot(L, L.T.conj()) # verify that L * L.H = A
array([[1.+0.j, 0.-2.j],
       [0.+2.j, 5.+0.j]])
>>> A = [[1,-2j],[2j,5]] # what happens if A is only array_like?
>>> np.linalg.cholesky(A) # an ndarray object is returned
array([[1.+0.j, 0.+0.j],
       [0.+2.j, 1.+0.j]])
>>> # But a matrix object is returned if A is a matrix object
>>> np.linalg.cholesky(np.matrix(A))
matrix([[ 1.+0.j,  0.+0.j],
        [ 0.+2.j,  1.+0.j]])