Линейная алгебра (numpy.linalg)

Функции NumPy для линейной алгебры полагаются на BLAS и LAPACK для обеспечения эффективной реализации стандартных алгоритмов линейной алгебры на низком уровне. Эти библиотеки могут предоставляться самим NumPy с использованием C-версий подмножества их эталонных реализаций, но, по возможности, предпочтительны высокооптимизированные библиотеки, использующие преимущества специализированных функций процессора. Примеры таких библиотек — OpenBLAS, MKL (TM) и ATLAS. Поскольку эти библиотеки многопоточны и зависят от процессора, могут потребоваться переменные среды и внешние пакеты, такие как threadpoolctl, для управления количеством потоков или указания архитектуры процессора.

Библиотека SciPy также содержит подмодуль linalg, и существует перекрытие в функциональности, предоставляемой подмодулями SciPy и NumPy. SciPy содержит функции, отсутствующие в numpy.linalg, такие как функции, связанные с LU-разложением и разложением Шура, несколько способов вычисления псевдообратного, а также матричные трансцендентные функции, такие как матричный логарифм. Некоторые функции, которые существуют в обеих библиотеках, имеют расширенную функциональность в scipy.linalg. Например, scipy.linalg.eig может принимать второй матричный аргумент для решения обобщённых задач нахождения собственных значений. Однако некоторые функции в NumPy имеют более гибкие опции векторизации. Например, numpy.linalg.solve может обрабатывать «упакованные» массивы, в то время как scipy.linalg.solve принимает только один квадратный массив в качестве первого аргумента.

Примечание

Термин матрица, используемый на этой странице, обозначает объект 2d numpy.array, а не объект numpy.matrix. Последний больше не рекомендуется, даже для линейной алгебры. См. документацию по объекту матрицы для получения дополнительной информации.

Оператор `@`

Введённый в NumPy 1.10.0, оператор @ предпочтительнее других методов при вычислении матричного произведения между массивами 2D. Функция numpy.matmul реализует оператор @.

Матричные и векторные произведения

`dot`(a, b[, out])	Скалярное произведение двух массивов.
`linalg.multi_dot`(arrays, *[, out])	Вычисляет скалярное произведение двух или более массивов в одном вызове функции, автоматически выбирая наиболее быстрый порядок вычисления.
`vdot`(a, b)	Возвращает скалярное произведение двух векторов.
`inner`(a, b)	Внутреннее произведение двух массивов.
`outer`(a, b[, out])	Вычисляет внешнее произведение двух векторов.
`matmul`(x1, x2, /[, out, casting, order, …])	Матричное произведение двух массивов.
`tensordot`(a, b[, axes])	Вычисляет тензорное скалярное произведение по указанным осям.
`einsum`(subscripts, *operands[, out, dtype, …])	Вычисляет по формуле Эйнштейна для суммирования по осям на операндах.
`einsum_path`(subscripts, *operands[, optimize])	Оценивает порядок сокращения с наименьшей стоимостью для выражения einsum, учитывая создание промежуточных массивов.
`linalg.matrix_power`(a, n)	Возводит квадратную матрицу в (целую) степень `n`.
`kron`(a, b)	Кронекеровское произведение двух массивов.

Разложения

`linalg.cholesky`(a)	Разложение Холецкого.
`linalg.qr`(a[, mode])	Вычисляет QR-разложение матрицы.
`linalg.svd`(a[, full_matrices, compute_uv, …])	Сингулярное разложение.

Собственные значения матриц

`linalg.eig`(a)	Вычисляет собственные значения и собственные векторы квадратного массива.
`linalg.eigh`(a[, UPLO])	Возвращает собственные значения и собственные векторы комплексной эрмитовой (сопряжённо-симметричной) или вещественной симметричной матрицы.
`linalg.eigvals`(a)	Вычисляет собственные значения произвольной матрицы.
`linalg.eigvalsh`(a[, UPLO])	Вычисляет собственные значения комплексной эрмитовой или вещественной симметричной матрицы.

Нормы и другие числа

`linalg.norm`(x[, ord, axis, keepdims])	Норма матрицы или вектора.
`linalg.cond`(x[, p])	Вычисляет число обусловленности матрицы.
`linalg.det`(a)	Вычисляет определитель массива.
`linalg.matrix_rank`(M[, tol, hermitian])	Возвращает ранг матрицы массива, используя метод SVD.
`linalg.slogdet`(a)	Вычисляет знак и (натуральный) логарифм определителя массива.
`trace`(a[, offset, axis1, axis2, dtype, out])	Возвращает сумму по диагоналям массива.

Решение уравнений и обращение матриц

`linalg.solve`(a, b)	Решает линейное матричное уравнение или систему линейных скалярных уравнений.
`linalg.tensorsolve`(a, b[, axes])	Решает тензорное уравнение `a x = b` для x.
`linalg.lstsq`(a, b[, rcond])	Возвращает решение наименьших квадратов для линейного матричного уравнения.
`linalg.inv`(a)	Вычисляет (мультипликативную) обратную матрицу.
`linalg.pinv`(a[, rcond, hermitian])	Вычисляет (псевдообратную по Муру-Пенрозу) матрицу.
`linalg.tensorinv`(a[, ind])	Вычисляет «обратную» матрицу N-мерного массива.

Исключения

linalg.LinAlgError

Объект исключения Python, производный от исключения, поднимаемый функциями linalg.

Линейная алгебра для нескольких матриц одновременно

Новое в версии 1.8.0.

Некоторые из описанных выше процедур линейной алгебры могут вычислять результаты для нескольких матриц одновременно, если они расположены в одном массиве.

Это показано в документации посредством спецификаций параметров ввода, таких как a : (..., M, M) array_like. Это означает, что если, например, задан массив ввода a.shape == (N, M, M), он интерпретируется как «стек» из N матриц, каждая размером M-на-M. Аналогичная спецификация применяется к возвращаемым значениям, например, для определителя det : (...) и в этом случае возвращается массив формы det(a).shape == (N,). Это обобщается на операции линейной алгебры над многомерными массивами: последние 1 или 2 измерения многомерного массива интерпретируются как векторы или матрицы, соответственно для каждой операции.

© 2005–2022 NumPy Developers
Licensed under the 3-clause BSD License.
https://numpy.org/doc/1.21/reference/routines.linalg.html