numpy.linalg.svd

linalg.svd(a, full_matrices=True, compute_uv=True, hermitian=False)[source]

Разложение по сингулярным значениям.

Когда a является двумерным массивом, оно разлагается как u @ np.diag(s) @ vh = (u * s) @ vh, где u и vh являются двумерными унитарными массивами, а s — одномерным массивом сингулярных значений a. Когда a имеет более высокую размерность, SVD применяется в режиме стекирования, как описано ниже.

Параметры

a(…, M, N) array_like

Вещественный или комплексный массив с a.ndim >= 2.

full_matricesbool, optional

Если True (по умолчанию), u и vh имеют формы соответственно (..., M, M) и (..., N, N). В противном случае формы соответственно (..., M, K) и (..., K, N), где K = min(M, N).

compute_uvbool, optional

Вычислять ли u и vh дополнительно к s? По умолчанию True.

hermitianbool, optional

Если True, предполагается, что a является эрмитовым (симметричным, если вещественным), что позволяет использовать более эффективный метод для нахождения сингулярных значений. По умолчанию False.

New in version 1.17.0.

Возвращает

u{ (…, M, M), (…, M, K) } array

Унитарный массив(ы). Первые a.ndim - 2 измерения имеют тот же размер, что и входной массив a. Размер последних двух измерений зависит от значения full_matrices. Возвращается только при compute_uv равном True.

s(…, K) array

Вектор(ы) сингулярных значений, отсортированных в каждом векторе по убыванию. Первые a.ndim - 2 измерения имеют тот же размер, что и входной массив a.

vh{ (…, N, N), (…, K, N) } array

Унитарный массив(ы). Первые a.ndim - 2 измерения имеют тот же размер, что и входной массив a. Размер последних двух измерений зависит от значения full_matrices. Возвращается только при compute_uv равном True.

Возможные исключения

LinAlgError

Если вычисление SVD не сходится.

См. также

scipy.linalg.svd

Аналогичная функция в SciPy.

scipy.linalg.svdvals

Вычисление сингулярных значений матрицы.

Примечания

Изменено в версии 1.8.0: Применяются правила широковещательной рассылки; см. документацию numpy.linalg для подробностей.

Разложение выполняется с помощью процедуры LAPACK _gesdd.

Обычно SVD описывается для разложения двумерной матрицы \(A\). Случай с матрицами большей размерности обсуждается ниже. В двумерном случае SVD записывается как \(A = U S V^H\), где \(A = a\), \(U= u\), \(S= \mathtt{np.diag}(s)\) и \(V^H = vh\). Одномерный массив s содержит сингулярные значения a, а u и vh являются унитарными. Строки vh являются собственными векторами \(A^H A\), а столбцы u — собственными векторами \(A A^H\). В обоих случаях соответствующие (возможно, отличные от нуля) собственные значения даются s**2.

Если a имеет более двух измерений, то применяются правила широковещательной рассылки, как описано в Линейная алгебра для нескольких матриц одновременно. Это означает, что SVD работает в режиме стекирования: оно перебирает все индексы первых a.ndim - 2 измерений и для каждой комбинации применяется SVD к последним двум индексам. Матрицу a можно восстановить из разложения с помощью (u * s[..., None, :]) @ vh или u @ (s[..., None] * vh). (Оператор @ может быть заменен функцией np.matmul для версий Python ниже 3.5.)

Если a является объектом matrix (в отличие от ndarray), то таковыми являются и все возвращаемые значения.

Примеры

>>> a = np.random.randn(9, 6) + 1j*np.random.randn(9, 6)
>>> b = np.random.randn(2, 7, 8, 3) + 1j*np.random.randn(2, 7, 8, 3)

Восстановление на основе полного SVD, двумерный случай:

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=True)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((9, 9), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(u[:, :6] * s, vh))
True
>>> smat = np.zeros((9, 6), dtype=complex)
>>> smat[:6, :6] = np.diag(s)
>>> np.allclose(a, np.dot(u, np.dot(smat, vh)))
True

Восстановление на основе сокращенного SVD, двумерный случай:

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=False)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((9, 6), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(u * s, vh))
True
>>> smat = np.diag(s)
>>> np.allclose(a, np.dot(u, np.dot(smat, vh)))
True

Восстановление на основе полного SVD, четырёхмерный случай:

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=True)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((2, 7, 8, 8), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(u[..., :3] * s[..., None, :], vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(u[..., :3], s[..., None] * vh))
True

Восстановление на основе сокращённого SVD, четырёхмерный случай:

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=False)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((2, 7, 8, 3), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(u * s[..., None, :], vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(u, s[..., None] * vh))
True