numpy.random.Generator.gumbel

метод

random.Generator.gumbel(loc=0.0, scale=1.0, size=None)

Генерировать выборки из распределения Гумбеля.

Генерировать выборки из распределения Гумбеля с заданным смещением и масштабом. Подробнее о распределении Гумбеля см. в разделе «Примечания» и «Ссылки» ниже.

Параметры

locfloat или array_like с плавающей запятой, необязательно

Смещение (позиция моды) распределения. По умолчанию 0.

scalefloat или array_like с плавающей запятой, необязательно

Параметр масштаба распределения. По умолчанию 1. Должен быть неотрицательным.

sizeint или кортеж из целых чисел, необязательно

Форма выходных данных. Если заданная форма, например, (m, n, k), то m * n * k выборок генерируется. Если размер равен None (по умолчанию), то возвращается одно значение, если loc и scale являются скалярами. В противном случае np.broadcast(loc, scale).size выборок генерируется.

Возвращает

outndarray или скаляр

Сгенерированные выборки из распределения Гумбеля.

См. также

scipy.stats.gumbel_l

scipy.stats.gumbel_r

scipy.stats.genextreme

weibull

Примечания

Распределение Гумбеля (или распределение наименьшего экстремального значения (SEV) или распределение наименьшего экстремального значения типа I) относится к классу обобщенных распределений экстремальных значений (GEV), используемых для моделирования экстремальных задач. Распределение Гумбеля является частным случаем распределения экстремального значения типа I для максимумов из распределений с «экспоненциально-подобными» хвостами.

Плотность вероятности распределения Гумбеля:

\[p(x) = \frac{e^{-(x - \mu)/ \beta}}{\beta} e^{ -e^{-(x - \mu)/ \beta}},\]

где \(\mu\) — мода, параметр смещения, а \(\beta\) — параметр масштаба.

Распределение Гумбеля (названное в честь немецкого математика Эмиля Юлия Гумбеля) очень рано использовалось в гидрологической литературе для моделирования возникновения наводнений. Оно также используется для моделирования максимальной скорости ветра и интенсивности осадков. Это распределение с «толстыми хвостами» — вероятность события в хвосте распределения больше, чем при использовании гауссова распределения, поэтому 100-летние наводнения случаются неожиданно часто. Изначально наводнения моделировались как гауссовский процесс, что приводило к недооценке частоты экстремальных событий.

Это одно из распределений класса экстремальных значений, обобщенных распределений экстремальных значений (GEV), которое также включает распределение Вейбулла и распределение Фреше.

Математическое ожидание функции равно \(\mu + 0.57721\beta\), а дисперсия равна \(\frac{\pi^2}{6}\beta^2\).

Ссылки

1

Гумбел, Э. Ю., «Статистика экстремумов», Нью-Йорк: Издательство Колумбийского университета, 1958.

2

Рейсс, Р.-Д. и Томас, М., «Статистический анализ экстремальных значений из страхования, финансов, гидрологии и других областей», Базель: Birkhauser Verlag, 2001.

Примеры

Генерация выборок из распределения:

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> mu, beta = 0, 0.1 # location and scale
>>> s = rng.gumbel(mu, beta, 1000)

Отображение гистограммы выборок вместе с функцией плотности вероятности:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> count, bins, ignored = plt.hist(s, 30, density=True)
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp( -np.exp( -(bins - mu) /beta) ),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.show()

Демонстрация того, как распределение экстремальных значений может возникнуть из гауссовского процесса, и сравнение с гауссовским распределением:

>>> means = []
>>> maxima = []
>>> for i in range(0,1000) :
...    a = rng.normal(mu, beta, 1000)
...    means.append(a.mean())
...    maxima.append(a.max())
>>> count, bins, ignored = plt.hist(maxima, 30, density=True)
>>> beta = np.std(maxima) * np.sqrt(6) / np.pi
>>> mu = np.mean(maxima) - 0.57721*beta
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp(-np.exp(-(bins - mu)/beta)),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.plot(bins, 1/(beta * np.sqrt(2 * np.pi))
...          * np.exp(-(bins - mu)**2 / (2 * beta**2)),
...          linewidth=2, color='g')
>>> plt.show()