numpy.random.standard_t

random.standard_t(df, size=None)

Генерирует выборку из стандартного распределения Стьюдента с df степенями свободы.

Частный случай гиперболического распределения. При больших значениях df, результат напоминает стандартное нормальное распределение (standard_normal).

Примечание

В новом коде следует использовать метод standard_t экземпляра default_rng(), см. Быстрый старт.

Параметры

dffloat или array_like из float

Число степеней свободы, должно быть > 0.

sizeint или кортеж из int, необязательно

Форма выходных данных. Если заданная форма, например, (m, n, k), то m * n * k выборок. Если size равен None (по умолчанию), то возвращается одно значение, если df — скаляр. В противном случае np.array(df).size выборок.

Возвращает

outndarray или скаляр

Генерированные выборки из параметризованного стандартного распределения Стьюдента.

См. также

Generator.standard_t

который следует использовать в новом коде.

Примечания

Функция плотности вероятности для распределения Стьюдента

\[P(x, df) = \frac{\Gamma(\frac{df+1}{2})}{\sqrt{\pi df} \Gamma(\frac{df}{2})}\Bigl( 1+\frac{x^2}{df} \Bigr)^{-(df+1)/2}\]

t-критерий основан на предположении, что данные получены из нормального распределения. t-критерий позволяет проверить, является ли выборочное среднее (то есть среднее, вычисленное по данным) хорошей оценкой истинного среднего.

Выведение t-распределения впервые было опубликовано в 1908 году Уильямом Госсетом, работавшим на пивоваренном заводе «Гиннесс» в Дублине. По причинам, связанным с коммерческой тайной, ему пришлось публиковаться под псевдонимом, и поэтому он использовал имя Студент.

Ссылки

1

Dalgaard, Peter, “Вводная статистика с R”, Springer, 2002.

2

Wikipedia, “Распределение Стьюдента” https://en.wikipedia.org/wiki/Student’s_t-distribution

Примеры

Из страницы 83 Далгарда [1], предположим, что суточная энергетическая потребность 11 женщин в килокалориях (кДж) составляет:

>>> intake = np.array([5260., 5470, 5640, 6180, 6390, 6515, 6805, 7515, \
...                    7515, 8230, 8770])

Отличается ли их энергетическая потребность систематически от рекомендуемого значения 7725 кДж? Наша нулевая гипотеза будет отсутствием отклонения, а альтернативная гипотеза — наличием эффекта, который может быть как положительным, так и отрицательным, что делает наш тест двусторонним.

Поскольку мы оцениваем среднее значение и имеем N=11 значений в нашей выборке, у нас N-1=10 степеней свободы. Мы устанавливаем свой уровень значимости на 95% и вычисляем статистику t с использованием эмпирического среднего и эмпирического стандартного отклонения нашего потребления. Мы используем ddof равное 1, чтобы основать вычисление нашего эмпирического стандартного отклонения на несмещённой оценке дисперсии (примечание: окончательная оценка не является несмещённой из-за вогнутой природы квадратного корня).

>>> np.mean(intake)
6753.636363636364
>>> intake.std(ddof=1)
1142.1232221373727
>>> t = (np.mean(intake)-7725)/(intake.std(ddof=1)/np.sqrt(len(intake)))
>>> t
-2.8207540608310198

Мы генерируем 1000000 выборок из распределения Стьюдента с соответствующим числом степеней свободы.

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> s = np.random.standard_t(10, size=1000000)
>>> h = plt.hist(s, bins=100, density=True)

Попадает ли наша t-статистика в одну из двух критических областей, найденных на обоих хвостах распределения?

>>> np.sum(np.abs(t) < np.abs(s)) / float(len(s))
0.018318  #random < 0.05, statistic is in critical region

Значение вероятности для этого двустороннего теста составляет около 1,83%, что меньше предварительно установленного порога значимости в 5%.

Следовательно, вероятность наблюдать такие же экстремальные значения, как наше потребление, при условии, что нулевая гипотеза верна, слишком низка, и мы отвергаем нулевую гипотезу об отсутствии отклонения.