numpy.linalg.cholesky

linalg.cholesky(a, /, *, upper=False)[source]

Разложение Холецкого.

Возвращает нижнее или верхнее разложение Холецкого, L * L.H или U.H * U, квадратной матрицы a, где L является нижнетреугольной, U является верхнетреугольной, а .H — оператор сопряжённого транспонирования (который является обычным транспонированием, если a вещественная). a должна быть эрмитовой (симметричной, если вещественной) и положительно определённой. Проверка того, что a эрмитова, не выполняется. Кроме того, используются только нижние или верхние треугольные и диагональные элементы a. Возвращается только L или U.

Параметры:

a(…, M, M) array_like

Эрмитова (симметричная, если все элементы вещественные), положительно определённая входная матрица.

upperbool

Если True, результат должен быть верхнетреугольным фактором Холецкого. Если False, результат должен быть нижнетреугольным фактором Холецкого. По умолчанию: False.

Возвращаемые значения:

L(…, M, M) array_like

Нижне- или верхнетреугольный фактор Холецкого от a. Возвращает матричный объект, если a является матричным объектом.

Исключения:

LinAlgError

Если разложение не выполняется, например, если a не является положительно определённой.

См. также

scipy.linalg.cholesky

Аналогичная функция в SciPy.

scipy.linalg.cholesky_banded

Разложение Холецкого полосовой эрмитовой положительно определённой матрицы.

scipy.linalg.cho_factor

Разложение Холецкого матрицы, для использования в scipy.linalg.cho_solve.

Примечания

Введено в версии 1.8.0.

Применяются правила вещания, см. документацию numpy.linalg для получения подробностей.

Разложение Холецкого часто используется как быстрый способ решения

\[A \mathbf{x} = \mathbf{b}\]

(когда A является одновременно эрмитовой/симметричной и положительно определённой).

Сначала мы решаем \(\mathbf{y}\) в

\[L \mathbf{y} = \mathbf{b},\]

а затем \(\mathbf{x}\) в

\[L^{H} \mathbf{x} = \mathbf{y}.\]

Примеры

>>> A = np.array([[1,-2j],[2j,5]])
>>> A
array([[ 1.+0.j, -0.-2.j],
       [ 0.+2.j,  5.+0.j]])
>>> L = np.linalg.cholesky(A)
>>> L
array([[1.+0.j, 0.+0.j],
       [0.+2.j, 1.+0.j]])
>>> np.dot(L, L.T.conj()) # verify that L * L.H = A
array([[1.+0.j, 0.-2.j],
       [0.+2.j, 5.+0.j]])
>>> A = [[1,-2j],[2j,5]] # what happens if A is only array_like?
>>> np.linalg.cholesky(A) # an ndarray object is returned
array([[1.+0.j, 0.+0.j],
       [0.+2.j, 1.+0.j]])
>>> # But a matrix object is returned if A is a matrix object
>>> np.linalg.cholesky(np.matrix(A))
matrix([[ 1.+0.j,  0.+0.j],
        [ 0.+2.j,  1.+0.j]])
>>> # The upper-triangular Cholesky factor can also be obtained.
>>> np.linalg.cholesky(A, upper=True)
array([[1.-0.j, 0.-2.j],
       [0.-0.j, 1.-0.j]])