Линейная алгебра (numpy.linalg)

Функции NumPy для линейной алгебры опираются на BLAS и LAPACK для предоставления эффективных низкоуровневых реализаций стандартных алгоритмов линейной алгебры. Эти библиотеки могут быть предоставлены самим NumPy с использованием C-версий подмножества их эталонных реализаций, но, когда это возможно, отдаётся предпочтение высокооптимизированным библиотекам, которые используют преимущества специализированных функций процессора. Примерами таких библиотек являются OpenBLAS, MKL (TM) и ATLAS. Поскольку эти библиотеки многопоточны и зависят от процессора, могут потребоваться переменные среды и внешние пакеты, такие как threadpoolctl, для управления количеством потоков или указания архитектуры процессора.

Библиотека SciPy также содержит подмодуль linalg, и есть перекрытие в функциональности, предоставляемой подмодулями SciPy и NumPy. SciPy содержит функции, которых нет в numpy.linalg, такие как функции, связанные с LU-разложением и разложением Шура, несколько способов вычисления псевдообратного элемента и матричные трансцендентные функции, такие как матричный логарифм. Некоторые функции, которые существуют в обоих подмодулях, имеют расширенную функциональность в scipy.linalg. Например, scipy.linalg.eig может принимать второй матричный аргумент для решения обобщённых задач нахождения собственных значений. Однако некоторые функции в NumPy имеют более гибкие параметры широковещательной рассылки. Например, numpy.linalg.solve может обрабатывать «уложенные» массивы, в то время как scipy.linalg.solve принимает только один квадратный массив в качестве первого аргумента.

Примечание

Термин матрица, используемый на этой странице, относится к объекту 2d numpy.array, а не к объекту numpy.matrix. Последний больше не рекомендуется, даже для линейной алгебры. Для получения дополнительной информации см. документацию по объектам матриц.

Оператор `@`

Введённый в NumPy 1.10.0, оператор @ предпочтительнее других методов при вычислении матричного произведения между массивами 2d. Функция numpy.matmul реализует оператор @.

Матричные и векторные произведения

`dot`(a, b[, out])	Скалярное произведение двух массивов.
`linalg.multi_dot`(arrays, *[, out])	Вычислить скалярное произведение двух или более массивов в одном вызове функции, автоматически выбирая наилучший порядок вычислений.
`vdot`(a, b, /)	Возвращает скалярное произведение двух векторов.
`vecdot`(x1, x2, /[, out, casting, order, ...])	Векторное скалярное произведение двух массивов.
`linalg.vecdot`(x1, x2, /, *[, axis])	Вычисляет векторное скалярное произведение.
`inner`(a, b, /)	Внутреннее произведение двух массивов.
`outer`(a, b[, out])	Вычислить внешнее произведение двух векторов.
`matmul`(x1, x2, /[, out, casting, order, ...])	Матричное произведение двух массивов.
`linalg.matmul`(x1, x2, /)	Вычисляет матричное произведение.
`tensordot`(a, b[, axes])	Вычисление тензорного скалярного произведения по заданным осям.
`linalg.tensordot`(x1, x2, /, *[, axes])	Вычисление тензорного скалярного произведения по заданным осям.
`einsum`(subscripts, *operands[, out, dtype, ...])	Вычисляет сумму по индексам, используя соглашение Эйнштейна.
`einsum_path`(subscripts, *operands[, optimize])	Определяет порядок свёртки с наименьшей стоимостью для выражения einsum, учитывая создание промежуточных массивов.
`linalg.matrix_power`(a, n)	Возвести квадратную матрицу в (целую) степень `n`.
`kron`(a, b)	Произведение Кронекера двух массивов.
`linalg.cross`(x1, x2, /, *[, axis])	Возвращает векторное произведение векторов с 3 элементами.

Разложения

`linalg.cholesky`(a, /, *[, upper])	Разложение Холецкого.
`linalg.outer`(x1, x2, /)	Вычислить внешнее произведение двух векторов.
`linalg.qr`(a[, mode])	Вычислить QR-разложение матрицы.
`linalg.svd`(a[, full_matrices, compute_uv, ...])	Разложение по сингулярным значениям.
`linalg.svdvals`(x, /)	Возвращает сингулярные значения матрицы (или набора матриц) `x`.

Матричные собственные значения

`linalg.eig`(a)	Вычислить собственные значения и собственные векторы квадратного массива.
`linalg.eigh`(a[, UPLO])	Возвращает собственные значения и собственные векторы комплексной эрмитовой (сопряжённо-симметричной) или вещественной симметричной матрицы.
`linalg.eigvals`(a)	Вычислить собственные значения произвольной матрицы.
`linalg.eigvalsh`(a[, UPLO])	Вычислить собственные значения комплексной эрмитовой или вещественной симметричной матрицы.

Нормы и другие числа

`linalg.norm`(x[, ord, axis, keepdims])	Норма матрицы или вектора.
`linalg.matrix_norm`(x, /, *[, keepdims, ord])	Вычисляет норму матрицы (или набора матриц) `x`.
`linalg.vector_norm`(x, /, *[, axis, ...])	Вычисляет норму вектора (или набора векторов) `x`.
`linalg.cond`(x[, p])	Вычислить число обусловленности матрицы.
`linalg.det`(a)	Вычислить определитель массива.
`linalg.matrix_rank`(A[, tol, hermitian, rtol])	Возвращает ранг матрицы массива, используя метод SVD
`linalg.slogdet`(a)	Вычислить знак и (натуральный) логарифм определителя массива.
`trace`(a[, offset, axis1, axis2, dtype, out])	Возвращает сумму по диагоналям массива.
`linalg.trace`(x, /, *[, offset, dtype])	Возвращает сумму по заданным диагоналям матрицы (или набора матриц) `x`.

Решение уравнений и обращение матриц

`linalg.solve`(a, b)	Решить линейное матричное уравнение или систему линейных скалярных уравнений.
`linalg.tensorsolve`(a, b[, axes])	Решить тензорное уравнение `a x = b` для x.
`linalg.lstsq`(a, b[, rcond])	Возвращает решение в методе наименьших квадратов для линейного матричного уравнения.
`linalg.inv`(a)	Вычислить обратную матрицу.
`linalg.pinv`(a[, rcond, hermitian, rtol])	Вычислить псевдообратную (по Муру-Пенрозу) матрицу.
`linalg.tensorinv`(a[, ind])	Вычислить «обратную» N-мерного массива.

Другие операции с матрицами

`diagonal`(a[, offset, axis1, axis2])	Возвращает указанные диагонали.
`linalg.diagonal`(x, /, *[, offset])	Возвращает указанные диагонали матрицы (или набора матриц) `x`.
`linalg.matrix_transpose`(x, /)	Транспонирует матрицу (или набор матриц) `x`.

Исключения

linalg.LinAlgError

Объект исключения Python, производный от linalg функций.

Линейная алгебра для нескольких матриц одновременно

Новое в версии 1.8.0.

Несколько процедур линейной алгебры, перечисленных выше, могут вычислять результаты для нескольких матриц одновременно, если они объединены в одном массиве.

Это показано в документации посредством спецификаций входных параметров, таких как a : (..., M, M) array_like. Это означает, что, например, если дан массив ввода a.shape == (N, M, M), он интерпретируется как «стек» из N матриц, каждая размером M-на-M. Аналогичное указание относится к значениям возврата, например, определитель имеет det : (...) и в этом случае вернёт массив формы det(a).shape == (N,). Это обобщается на операции линейной алгебры над многомерными массивами: последние 1 или 2 измерения многомерного массива интерпретируются как векторы или матрицы, как это соответствует каждой операции.

© 2005–2024 NumPy Developers
Licensed under the 3-clause BSD License.
https://numpy.org/doc/2.0/reference/routines.linalg.html