numpy.linalg.eigh

linalg.eigh(a, UPLO='L')[source]

Возвращает собственные значения и собственные векторы комплексной эрмитовой (сопряжённо-симметричной) или вещественной симметричной матрицы.

Возвращает два объекта: одномерный массив, содержащий собственные значения a, и двумерный квадратный массив или матрицу (в зависимости от типа входных данных) соответствующих собственных векторов (в столбцах).

Параметры:

a(…, M, M) массив

Эрмитовы или вещественные симметричные матрицы, для которых необходимо вычислить собственные значения и собственные векторы.

UPLO{‘L’, ‘U’}, необязательно

Указывает, вычисляется ли значение с использованием нижней треугольной части a (‘L’, по умолчанию) или верхней треугольной части (‘U’). Независимо от этого значения, в вычислении будут учитываться только действительные части диагонали, чтобы сохранить понятие эрмитовой матрицы. Следовательно, мнимая часть диагонали всегда будет обрабатываться как ноль.

Возвращает:

Кортеж с именованными атрибутами:

собственные_значения(…, M) ndarray

Собственные значения в порядке возрастания, каждое повторяется в соответствии с его кратностью.

собственные_векторы{(…, M, M) ndarray, (…, M, M) матрица}

Столбец eigenvectors[:, i] является нормированным собственным вектором, соответствующим собственному значению eigenvalues[i]. Будет возвращена матрица, если a является матрицей.

Возбуждает:

LinAlgError

Если вычисление собственных значений не сходится.

См. также

eigvalsh

собственные значения вещественных симметричных или комплексных эрмитовых (сопряжённо-симметричных) массивов.

eig

собственные значения и правые собственные векторы для несимметричных массивов.

eigvals

собственные значения несимметричных массивов.

scipy.linalg.eigh

Аналогичная функция в SciPy (но также решает обобщенную задачу нахождения собственных значений).

Примечания

Введено в версии 1.8.0.

Применяются правила вещания, см. документацию numpy.linalg для получения подробностей.

Собственные значения/собственные векторы вычисляются с помощью процедур LAPACK _syevd, _heevd.

Собственные значения вещественных симметричных или комплексных эрмитовых матриц всегда действительны. [1] Массив eigenvalues (столбцовых) собственных векторов является унитарным и a, eigenvalues, и eigenvectors удовлетворяют уравнениям dot(a, eigenvectors[:, i]) = eigenvalues[i] * eigenvectors[:, i].

Ссылки

[1]

Г. Странг, Линейная алгебра и ее приложения, 2-е изд., Орландо, Флорида, Academic Press, Inc., 1980, стр. 222.

Примеры

>>> from numpy import linalg as LA
>>> a = np.array([[1, -2j], [2j, 5]])
>>> a
array([[ 1.+0.j, -0.-2.j],
       [ 0.+2.j,  5.+0.j]])
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eigh(a)
>>> eigenvalues
array([0.17157288, 5.82842712])
>>> eigenvectors
array([[-0.92387953+0.j        , -0.38268343+0.j        ], # may vary
       [ 0.        +0.38268343j,  0.        -0.92387953j]])

>>> (np.dot(a, eigenvectors[:, 0]) -
... eigenvalues[0] * eigenvectors[:, 0])  # verify 1st eigenval/vec pair
array([5.55111512e-17+0.0000000e+00j, 0.00000000e+00+1.2490009e-16j])
>>> (np.dot(a, eigenvectors[:, 1]) -
... eigenvalues[1] * eigenvectors[:, 1])  # verify 2nd eigenval/vec pair
array([0.+0.j, 0.+0.j])

>>> A = np.matrix(a) # what happens if input is a matrix object
>>> A
matrix([[ 1.+0.j, -0.-2.j],
        [ 0.+2.j,  5.+0.j]])
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eigh(A)
>>> eigenvalues
array([0.17157288, 5.82842712])
>>> eigenvectors
matrix([[-0.92387953+0.j        , -0.38268343+0.j        ], # may vary
        [ 0.        +0.38268343j,  0.        -0.92387953j]])

>>> # demonstrate the treatment of the imaginary part of the diagonal
>>> a = np.array([[5+2j, 9-2j], [0+2j, 2-1j]])
>>> a
array([[5.+2.j, 9.-2.j],
       [0.+2.j, 2.-1.j]])
>>> # with UPLO='L' this is numerically equivalent to using LA.eig() with:
>>> b = np.array([[5.+0.j, 0.-2.j], [0.+2.j, 2.-0.j]])
>>> b
array([[5.+0.j, 0.-2.j],
       [0.+2.j, 2.+0.j]])
>>> wa, va = LA.eigh(a)
>>> wb, vb = LA.eig(b)
>>> wa; wb
array([1., 6.])
array([6.+0.j, 1.+0.j])
>>> va; vb
array([[-0.4472136 +0.j        , -0.89442719+0.j        ], # may vary
       [ 0.        +0.89442719j,  0.        -0.4472136j ]])
array([[ 0.89442719+0.j       , -0.        +0.4472136j],
       [-0.        +0.4472136j,  0.89442719+0.j       ]])