numpy.polynomial.hermite.hermfit

polynomial.hermite.hermfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[source]

Наименьшие квадраты подгонки ряда Эрмита к данным.

Возвращает коэффициенты ряда Эрмита степени deg, которые являются наименьшими квадратами подгонки к значениям данных y, заданным в точках x. Если y является одномерным, возвращаемые коэффициенты также будут одномерными. Если y является двумерным, выполняется несколько подгонок, по одной для каждого столбца y, и полученные коэффициенты хранятся в соответствующих столбцах двумерного возвращаемого значения. Подгоняемый(ые) полином(ы) имеют вид

\[p(x) = c_0 + c_1 * H_1(x) + ... + c_n * H_n(x),\]

где n является deg.

Параметры:

xarray_like, форма (M,)

Координаты x M точек выборки (x[i], y[i]).

yarray_like, форма (M,) или (M, K)

Координаты y точек выборки. Несколько наборов данных точек выборки, имеющих одинаковые координаты x, можно подгонять одновременно, передав двумерный массив, содержащий один набор данных в каждом столбце.

degint или 1-D array_like

Степень(и) подгоняемых полиномов. Если deg является целым числом, все члены до и включая deg-й член включены в подгонку. Для версий NumPy >= 1.11.0 может использоваться список целых чисел, определяющих степени членов, которые нужно включить.

rcondfloat, необязательно

Относительное число обусловленности подгонки. Сингулярные значения, меньшие этого относительного значения по отношению к наибольшему сингулярному значению, будут игнорироваться. Значение по умолчанию — len(x)*eps, где eps — относительная точность типа float, примерно 2e-16 в большинстве случаев.

fullbool, необязательно

Переключатель, определяющий характер возвращаемого значения. Когда он равен False (по умолчанию), возвращаются только коэффициенты, когда True — также возвращается диагностическая информация из разложения по сингулярным значениям.

warray_like, форма (M,), необязательно

Веса. Если не равно None, вес w[i] применяется к невозведённому в квадрат остатку y[i] - y_hat[i] в x[i]. В идеале веса выбираются таким образом, чтобы ошибки произведений w[i]*y[i] имели одинаковую дисперсию. При использовании взвешивания по обратной дисперсии используйте w[i] = 1/sigma(y[i]). Значение по умолчанию — None.

Возвращаемые значения:

coefndarray, форма (M,) или (M, K)

Коэффициенты Эрмита, упорядоченные от низших к высшим. Если y было двумерным, коэффициенты данных в столбце k из y находятся в столбце k.

[residuals, rank, singular_values, rcond]list

Эти значения возвращаются только если full == True.

• residuals – сумма квадратов остатков наименьших квадратов подгонки
• rank – числовой ранг масштабированной матрицы Вандермонда
• singular_values – сингулярные значения масштабированной матрицы Вандермонда
• rcond – значение rcond.

Дополнительные сведения см. в numpy.linalg.lstsq.

Предупреждения:

RankWarning

Ранг матрицы коэффициентов в подгонке наименьших квадратов недостаточен. Предупреждение выдаётся только если full == False. Предупреждения можно отключить, выполнив

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)

См. также

numpy.polynomial.chebyshev.chebfit

numpy.polynomial.legendre.legfit

numpy.polynomial.laguerre.lagfit

numpy.polynomial.polynomial.polyfit

numpy.polynomial.hermite_e.hermefit

hermval

hermvander

hermweight

numpy.linalg.lstsq

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Примечания

Решение — это коэффициенты ряда Эрмита p, которые минимизируют сумму взвешенных квадратов ошибок

\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]

где \(w_j\) — веса. Эта задача решается путём построения (обычно) переопределённого матричного уравнения

\[V(x) * c = w * y,\]

где V является взвешенной псевдоматрицей Вандермонда x, c — коэффициенты, которые требуется найти, w — веса, y — наблюдаемые значения. Это уравнение затем решается с использованием разложения по сингулярным значениям V.

Если некоторые сингулярные значения V настолько малы, что ими можно пренебречь, выводится предупреждение RankWarning. Это означает, что значения коэффициентов могут быть плохо определены. Использование подгонки меньшей степени обычно устраняет предупреждение. Параметр rcond также можно установить на значение, меньшее, чем значение по умолчанию, но полученная подгонка может быть ложной и иметь значительные погрешности из-за округления.

Подгонки, использующие ряд Эрмита, вероятно, наиболее полезны, когда данные можно аппроксимировать sqrt(w(x)) * p(x), где w(x) — вес Эрмита. В этом случае вес sqrt(w(x[i])) следует использовать вместе со значениями данных y[i]/sqrt(w(x[i])). Функция веса доступна в hermweight.

Ссылки

[1]

Википедия, «Подгонка кривых», https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

Примеры

>>> from numpy.polynomial.hermite import hermfit, hermval
>>> x = np.linspace(-10, 10)
>>> err = np.random.randn(len(x))/10
>>> y = hermval(x, [1, 2, 3]) + err
>>> hermfit(x, y, 2)
array([1.0218, 1.9986, 2.9999]) # may vary