numpy.polynomial.hermite_e.hermefit

polynomial.hermite_e.hermefit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[source]

Наименьшие квадраты подгонки ряда Эрмита к данным.

Возвращает коэффициенты ряда Эрмита–Эрмита степени deg, которые представляют собой наименьшие квадраты подгонки к значениям данных y, заданным в точках x. Если y является одномерным, возвращаемые коэффициенты также будут одномерными. Если y является двумерным, выполняются несколько подгонок, по одной для каждого столбца y, и полученные коэффициенты хранятся в соответствующих столбцах двумерного возвращаемого значения. Подгоняемый(ые) многочлен(ы) имеют вид

\[p(x) = c_0 + c_1 * He_1(x) + ... + c_n * He_n(x),\]

где n является deg.

Параметры:

xarray_like, форма (M,)

Координаты x M точек выборки (x[i], y[i]).

yarray_like, форма (M,) или (M, K)

Координаты y точек выборки. Несколько наборов данных точек выборки с одинаковыми координатами x могут быть подогнаны одновременно, передав двумерный массив, содержащий один набор данных на столбец.

degint или 1-мерный array_like

Степень(и) подгоняемых многочленов. Если deg является целым числом, все члены до и включая deg-й член включены в подгонку. Для версий NumPy >= 1.11.0 может использоваться список целых чисел, указывающих степени членов, которые следует включить.

rcondfloat, необязательно

Относительное число обусловленности подгонки. Сингулярные значения, меньшие этого значения относительно наибольшего сингулярного значения, будут игнорироваться. Значение по умолчанию равно len(x)*eps, где eps — относительная точность типа float, примерно 2e-16 в большинстве случаев.

fullbool, необязательно

Переключатель, определяющий характер возвращаемого значения. Когда False (по умолчанию) возвращаются только коэффициенты, когда True — также возвращается диагностическая информация из разложения по сингулярным значениям.

warray_like, форма (M,), необязательно

Веса. Если не равно None, вес w[i] применяется к невозведённому в квадрат остатку y[i] - y_hat[i] в точке x[i]. В идеале веса выбираются таким образом, чтобы погрешности произведений w[i]*y[i] имели одинаковую дисперсию. При использовании взвешивания по обратной дисперсии используйте w[i] = 1/sigma(y[i]). Значение по умолчанию равно None.

Возвращает:

coefndarray, форма (M,) или (M, K)

Коэффициенты Эрмита, упорядоченные от меньшей к большей степени. Если y было двумерным, коэффициенты для данных в столбце k y находятся в столбце k.

[residuals, rank, singular_values, rcond]list

Эти значения возвращаются только если full == True.

• residuals – сумма квадратов остатков наименьших квадратов
• rank – числовая ранг масштабированной матрицы Вандермонда
• singular_values – сингулярные значения масштабированной матрицы Вандермонда
• rcond – значение rcond.

Дополнительные сведения см. в numpy.linalg.lstsq.

Предупреждения:

RankWarning

Ранг матрицы коэффициентов в наименьших квадратах недостаточен. Предупреждение выводится только если full = False. Предупреждения можно отключить, используя

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)

См. также

numpy.polynomial.chebyshev.chebfit

numpy.polynomial.legendre.legfit

numpy.polynomial.polynomial.polyfit

numpy.polynomial.hermite.hermfit

numpy.polynomial.laguerre.lagfit

hermeval

hermevander

hermeweight

numpy.linalg.lstsq

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Примечания

Решение — коэффициенты ряда Эрмита–Эрмита p, которые минимизируют сумму взвешенных квадратов ошибок

\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]

где \(w_j\) — веса. Эта проблема решается путём создания (обычно) переопределённого матричного уравнения

\[V(x) * c = w * y,\]

где V является псевдо-матрицей Вандермонда x, элементы c являются искомыми коэффициентами, а элементы y — наблюдаемыми значениями. Это уравнение затем решается с помощью разложения по сингулярным значениям V.

Если некоторые сингулярные значения V настолько малы, что ими пренебрегают, то будет выведено предупреждение RankWarning. Это означает, что значения коэффициентов могут быть плохо определены. Обычно предупреждение исчезает при использовании подгонки меньшей степени. Также можно установить параметр rcond к значению меньше значения по умолчанию, но полученная подгонка может быть ложной и иметь большие вклады от погрешностей округления.

Подгонки с помощью ряда Эрмита–Эрмита, вероятно, наиболее полезны, когда данные могут быть аппроксимированы sqrt(w(x)) * p(x), где w(x) является весом Эрмита–Эрмита. В этом случае вес sqrt(w(x[i])) следует использовать вместе со значениями данных y[i]/sqrt(w(x[i])). Функция весов доступна как hermeweight.

Ссылки

[1]

Wikipedia, «Подгонка кривых», https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

Примеры

>>> from numpy.polynomial.hermite_e import hermefit, hermeval
>>> x = np.linspace(-10, 10)
>>> np.random.seed(123)
>>> err = np.random.randn(len(x))/10
>>> y = hermeval(x, [1, 2, 3]) + err
>>> hermefit(x, y, 2)
array([ 1.01690445,  1.99951418,  2.99948696]) # may vary