numpy.random.RandomState.standard_t

метод

random.RandomState.standard_t(df, size=None)

Генерирует выборку из стандартного распределения Стьюдента с df степенями свободы.

Особый случай гиперболического распределения. По мере увеличения df, результат приближается к стандартному нормальному распределению (standard_normal).

Примечание

Новый код должен использовать метод standard_t экземпляра Generator; см. Быстрый старт.

Параметры:

dffloat или array_like float

Степени свободы, должны быть > 0.

sizeint или кортеж из целых чисел, необязательно

Форма выходных данных. Если заданная форма, например, (m, n, k), тогда m * n * k выборок генерируется. Если size равен None (по умолчанию), возвращается единственное значение, если df — скаляр. В противном случае, np.array(df).size выборок генерируется.

Возвращает:

outndarray или скаляр

Сгенерированные выборки из параметризованного стандартного распределения Стьюдента.

См. также

random.Generator.standard_t

который следует использовать в новом коде.

Примечания

Функция плотности вероятности для распределения Стьюдента:

\[P(x, df) = \frac{\Gamma(\frac{df+1}{2})}{\sqrt{\pi df} \Gamma(\frac{df}{2})}\Bigl( 1+\frac{x^2}{df} \Bigr)^{-(df+1)/2}\]

t-критерий основан на предположении, что данные поступают из нормального распределения. t-критерий предоставляет способ проверки того, является ли выборочное среднее (то есть среднее, вычисленное по данным) хорошей оценкой истинного среднего.

Вычисление распределения Стьюдента было впервые опубликовано в 1908 году Уильямом Госсетом, работавшим в пивоваренной компании Guinness в Дублине. Из-за вопросов интеллектуальной собственности он был вынужден публиковать под псевдонимом, и поэтому использовал имя Стьюдент.

Ссылки

[1]

Dalgaard, Peter, “Вводная статистика с R”, Springer, 2002.

[2]

Википедия, “Распределение Стьюдента” https://en.wikipedia.org/wiki/Student’s_t-distribution

Примеры

Согласно странице 83 Далгарда [1], предположим, что ежедневный энергетический прием 11 женщин в килоджоулях (кДж) составляет:

>>> intake = np.array([5260., 5470, 5640, 6180, 6390, 6515, 6805, 7515, \
...                    7515, 8230, 8770])

Отклоняется ли их энергетический прием систематически от рекомендованного значения 7725 кДж? Наша нулевая гипотеза будет отсутствием отклонения, а альтернативная гипотеза — наличием эффекта, который может быть либо положительным, либо отрицательным, поэтому наш тест двусторонний.

Так как мы оцениваем среднее и у нас N=11 значений в нашей выборке, у нас N-1=10 степеней свободы. Мы установим наш уровень значимости на 95% и вычислим t-статистику, используя эмпирическое среднее и эмпирическую стандартную ошибку нашего приема. Мы используем ddof в 1, чтобы использовать для вычисления нашей эмпирической стандартной ошибки несмещенную оценку дисперсии (примечание: окончательная оценка не является несмещенной из-за вогнутой природы квадратного корня).

>>> np.mean(intake)
6753.636363636364
>>> intake.std(ddof=1)
1142.1232221373727
>>> t = (np.mean(intake)-7725)/(intake.std(ddof=1)/np.sqrt(len(intake)))
>>> t
-2.8207540608310198

Мы генерируем 1000000 выборок из распределения Стьюдента с соответствующими степенями свободы.

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> s = np.random.standard_t(10, size=1000000)
>>> h = plt.hist(s, bins=100, density=True)

Попадает ли наша t-статистика в одну из двух критических областей, найденных на обоих хвостах распределения?

>>> np.sum(np.abs(t) < np.abs(s)) / float(len(s))
0.018318  #random < 0.05, statistic is in critical region

Значение вероятности для этого двустороннего теста составляет около 1,83%, что ниже предварительно установленного порогового значения значимости в 5%.

Следовательно, вероятность наблюдения таких же экстремальных значений, как наш прием, при условии, что нулевая гипотеза верна, слишком низка, и мы отвергаем нулевую гипотезу об отсутствии отклонения.