16.4 Известные матрицы

Следующие функции возвращают известные формы матриц.

gallery (name)

gallery (name, args)

Создать интересные матрицы для тестирования.

c = gallery ("cauchy", x)

c = gallery ("cauchy", x, y)

Создать матрицу Коши.

c = gallery ("chebspec", n)

c = gallery ("chebspec", n, k)

Создать матрицу Чебышева для спектрального дифференцирования.

c = gallery ("chebvand", p)

c = gallery ("chebvand", m, p)

Создать матрицу типа Вандермонда для полиномов Чебышева.

a = gallery ("chow", n)

a = gallery ("chow", n, alpha)

a = gallery ("chow", n, alpha, delta)

Создать матрицу Чоу – сингулярную нижнетреугольную матрицу Тоepлица.

c = gallery ("circul", v)

Создать циркулянтную матрицу.

a = gallery ("clement", n)

a = gallery ("clement", n, k)

Создать трёхдиагональную матрицу с нулевыми диагональными элементами.

c = gallery ("compar", a)

c = gallery ("compar", a, k)

Создать сравнительную матрицу.

a = gallery ("condex", n)

a = gallery ("condex", n, k)

a = gallery ("condex", n, k, theta)

Создать матрицу «контрпримера» для оценивания условия.

a = gallery ("cycol", [m n])

a = gallery ("cycol", n)

a = gallery (…, k)

Создать матрицу, столбцы которой циклически повторяются.

[c, d, e] = gallery ("dorr", n)

[c, d, e] = gallery ("dorr", n, theta)

a = gallery ("dorr", …)

Создать диагонально-доминирующую, плохо обусловленную трёхдиагональную матрицу.

a = gallery ("dramadah", n)

a = gallery ("dramadah", n, k)

Создать матрицу (0, 1), обратная которой имеет большие целые элементы.

a = gallery ("fiedler", c)

Создать симметричную матрицу Фидлера.

a = gallery ("forsythe", n)

a = gallery ("forsythe", n, alpha)

a = gallery ("forsythe", n, alpha, lambda)

Создать матрицу Форсайта (возмущённый блок Жордана).

f = gallery ("frank", n)

f = gallery ("frank", n, k)

Создать матрицу Франка (плохо обусловленные собственные значения).

c = gallery ("gcdmat", n)

Создать матрицу наибольшего общего делителя.

c — матрица n×n, значения которой соответствуют наибольшему общему делителю координат, т. е. c(i,j) соответствуют gcd (i, j).

a = gallery ("gearmat", n)

a = gallery ("gearmat", n, i)

a = gallery ("gearmat", n, i, j)

Создать матрицу Гира.

g = gallery ("grcar", n)

g = gallery ("grcar", n, k)

Создать матрицу Тоepлица со чувствительными собственными значениями.

a = gallery ("hanowa", n)

a = gallery ("hanowa", n, d)

Создать матрицу, собственные значения которой лежат на вертикальной прямой в комплексной плоскости.

v = gallery ("house", x)

[v, beta] = gallery ("house", x)

Создать матрицу Хаусхолдера.

a = gallery ("integerdata", imax, [M N …], j)

a = gallery ("integerdata", imax, M, N, …, j)

a = gallery ("integerdata", [imin, imax], [M N …], j)

a = gallery ("integerdata", [imin, imax], M, N, …, j)

a = gallery ("integerdata", …, "class")

Создать матрицу со случайными целыми числами в диапазоне [1, imax]. Если задано imin, то целые числа находятся в диапазоне [imin, imax].

Вторым вводом является матрица размеров, описывающая размер выходных данных. Размеры также могут быть введены как разделенные запятыми аргументы.

Ввод j — целочисленный индекс в диапазоне [0, 2³²-1]. Значения выходной матрицы всегда точно совпадают (воспроизводимость) для заданных входных размеров и индекса j.

Последний необязательный аргумент определяет класс полученной матрицы. Возможные значения для class: "uint8", "uint16", "uint32", "int8", "int16", int32", "single", "double". По умолчанию "double".

a = gallery ("invhess", x)

a = gallery ("invhess", x, y)

Создать обратную верхнетреугольную матрицу.

a = gallery ("invol", n)

Создать инволютивную матрицу.

a = gallery ("ipjfact", n)

a = gallery ("ipjfact", n, k)

Создать матрицу Ханкеля с факториальными элементами.

a = gallery ("jordbloc", n)

a = gallery ("jordbloc", n, lambda)

Создать блок Жордана.

u = gallery ("kahan", n)

u = gallery ("kahan", n, theta)

u = gallery ("kahan", n, theta, pert)

Создать матрицу Кахана (верхняя трапециевидная).

a = gallery ("kms", n)

a = gallery ("kms", n, rho)

Создать матрицу Каца-Мёрдока-Зего Тоepлица.

b = gallery ("krylov", a)

b = gallery ("krylov", a, x)

b = gallery ("krylov", a, x, j)

Создать матрицу Крывлова.

a = gallery ("lauchli", n)

a = gallery ("lauchli", n, mu)

Создать матрицу Лаукли (прямоугольную).

a = gallery ("lehmer", n)

Создать матрицу Лемера (симметричная положительно определённая).

t = gallery ("lesp", n)

Создать трёхдиагональную матрицу с действительными, чувствительными собственными значениями.

a = gallery ("lotkin", n)

Создать матрицу Лоткина.

a = gallery ("minij", n)

Создать симметричную положительно определённую матрицу MIN(i,j).

a = gallery ("moler", n)

a = gallery ("moler", n, alpha)

Создать матрицу Молера (симметричная положительно определённая).

[a, t] = gallery ("neumann", n)

Создать сингулярную матрицу из дискретного уравнения Неймана (разреженная).

a = gallery ("normaldata", [M N …], j)

a = gallery ("normaldata", M, N, …, j)

a = gallery ("normaldata", …, "class")

Создать матрицу со случайными выборками из стандартного нормального распределения (среднее = 0, стандартное отклонение = 1).

Первый ввод — матрица размеров, описывающая размер выходных данных. Размеры также могут быть введены как разделенные запятыми аргументы.

Ввод j — целочисленный индекс в диапазоне [0, 2³²-1]. Значения выходной матрицы всегда точно совпадают (воспроизводимость) для заданных входных размеров и индекса j.

Последний необязательный аргумент определяет класс полученной матрицы. Возможные значения для class: "single", "double". По умолчанию "double".

q = gallery ("orthog", n)

q = gallery ("orthog", n, k)

Создать ортогональные и почти ортогональные матрицы.

a = gallery ("parter", n)

Создать матрицу Партера (матрица Тоepлица с сингулярными значениями, близкими к π).

p = gallery ("pei", n)

p = gallery ("pei", n, alpha)

Создать матрицу Пей.

a = gallery ("poisson", n)

Создать блочно-трёхдиагональную матрицу из уравнения Пуассона (разреженная).

a = gallery ("prolate", n)

a = gallery ("prolate", n, w)

Создать пролатную матрицу (симметричная, плохо обусловленная матрица Тоepлица).

h = gallery ("randhess", x)

Создать случайную ортогональную верхнетреугольную матрицу.

a = gallery ("rando", n)

a = gallery ("rando", n, k)

Создать случайную матрицу с элементами -1, 0 или 1.

a = gallery ("randsvd", n)

a = gallery ("randsvd", n, kappa)

a = gallery ("randsvd", n, kappa, mode)

a = gallery ("randsvd", n, kappa, mode, kl)

a = gallery ("randsvd", n, kappa, mode, kl, ku)

Создать случайную матрицу с предварительно заданными сингулярными значениями.

a = gallery ("redheff", n)

Создать матрицу нулей и единиц Редхеффера, связанную с гипотезой Римана.

a = gallery ("riemann", n)

Создать матрицу, связанную с гипотезой Римана.

a = gallery ("ris", n)

Создать симметричную матрицу Ханкеля.

a = gallery ("smoke", n)

a = gallery ("smoke", n, k)

Создать комплексную матрицу с псевдоспектром «кольца дыма».

t = gallery ("toeppd", n)

t = gallery ("toeppd", n, m)

t = gallery ("toeppd", n, m, w)

t = gallery ("toeppd", n, m, w, theta)

Создать симметричную положительно определённую матрицу Тоepлица.

p = gallery ("toeppen", n)

p = gallery ("toeppen", n, a)

p = gallery ("toeppen", n, a, b)

p = gallery ("toeppen", n, a, b, c)

p = gallery ("toeppen", n, a, b, c, d)

p = gallery ("toeppen", n, a, b, c, d, e)

Создать пентадиагональную матрицу Топлица (разреженную).

a = gallery ("tridiag", x, y, z)

a = gallery ("tridiag", n)

a = gallery ("tridiag", n, c, d, e)

Создать треугольную матрицу (разреженную).

t = gallery ("triw", n)

t = gallery ("triw", n, alpha)

t = gallery ("triw", n, alpha, k)

Создать верхнетреугольную матрицу, обсуждаемую Каханом, Голубом и Уилкинсоном.

a = gallery ("uniformdata", [M N …], j)

a = gallery ("uniformdata", M, N, …, j)

a = gallery ("uniformdata", …, "class")

Создать матрицу с случайными выборками из стандартного равномерного распределения (диапазон [0,1]).

Первый вход — матрица размерностей, описывающая размер выходных данных. Размерности также могут быть введены как аргументы, разделённые запятыми.

Входной параметр j — целое числовой индекс в диапазоне [0, 2^32-1]. Значения матрицы выходных данных всегда точно одинаковы (воспроизводимость) для заданного размера входных данных и индекса j.

Последний необязательный аргумент определяет класс результирующей матрицы. Возможные значения для class: "single", "double". По умолчанию "double".

a = gallery ("wathen", nx, ny)

a = gallery ("wathen", nx, ny, k)

Создать матрицу Уотена.

[a, b] = gallery ("wilk", n)

Создать различные специфические матрицы, разработанные/обсуждаемые Уилкинсоном.

hadamard (n)

Построить матрицу Адамара (Hn) размера n-на-n.

Размер n должен иметь вид 2^k * p, где p — одно из 1, 12, 20 или 28. Возвращаемая матрица нормализована, что означает Hn(:,1) == 1 и Hn(1,:) == 1.

Некоторые свойства матриц Адамара:

• kron (Hm, Hn) — это матрица Адамара размера m-на-n.
• Hn * Hn' = n * eye (n).
• Строки Hn ортогональны.
• det (A) <= abs (det (Hn)) для всех A с abs (A(i, j)) <= 1.
• Умножение любой строки или столбца на -1 сохранит матрицу Адамара.

См. также: compan, hankel, toeplitz.

hankel (c)

hankel (c, r)

Возвращает матрицу Ханкеля, построенную из первого столбца c и (необязательно) последней строки r.

Если последний элемент c не совпадает с первым элементом r, используется последний элемент c. Если второй аргумент опущен, он предполагается вектором нулей того же размера, что и c.

Матрица Ханкеля, сформированная из m-вектора c и n-вектора r, имеет элементы

H(i,j) = c(i+j-1),  i+j-1 <= m;
H(i,j) = r(i+j-m),  otherwise

См. также: hadamard, toeplitz.

hilb (n)

Возвращает матрицу Гильберта порядка n.

Элемент i,j матрицы Гильберта определяется как

H(i, j) = 1 / (i + j - 1)

Матрицы Гильберта близки к вырожденным, что затрудняет их обращение с помощью численных методов. Сравнение числа обусловленности случайной матрицы 5x5 с матрицей Гильберта 5-го порядка показывает, насколько сложной является эта проблема.

cond (rand (5))
   ⇒ 14.392
cond (hilb (5))
   ⇒ 4.7661e+05

См. также: invhilb.

invhilb (n)

Возвращает обратную матрицу Гильберта порядка n.

Это можно вычислить точно, используя

(i+j)         /n+i-1\  /n+j-1\   /i+j-2\ 2
A(i,j) = -1      (i+j-1)(       )(       ) (       )
                         \ n-j /  \ n-i /   \ i-2 /

       = p(i) p(j) / (i+j-1)

где

k  /k+n-1\   /n\
p(k) = -1  (       ) (   )
            \ k-1 /   \k/

Корректность этой формулы легко проверить, раскрыв биномиальные коэффициенты в обеих формулах через факториалы. Её можно вывести более непосредственно через теорию матриц Коши. См. Дж. У. Деммель, Прикладная численные линейная алгебра, стр. 92.

Сравните это с численным вычислением inv (hilb (n)), которое страдает от плохо обусловленности матрицы Гильберта и конечной точности плавающей точки арифметики вашего компьютера.

См. также: hilb.

magic (n)

Создать n-на-n магический квадрат.

Магический квадрат — это расположение целых чисел 1:n^2 таким образом, что суммы строк, столбцов и диагоналей равны одному и тому же значению.

Примечание: n должен быть скаляром, большим или равным 3. Если вы укажете n меньше 3, magic вернёт либо не-магический квадрат, либо вырожденные магические квадраты 1 и [].

pascal (n)

pascal (n, t)

Возвратить матрицу Паскаля порядка n, если t = 0.

Значение по умолчанию для t равно 0.

Когда t = 1, возвращает псевдонижнюю треугольную факторизацию Холецкого матрицы Паскаля (знак некоторых столбцов может быть отрицательным). Эта матрица является своей собственной обратной, то есть pascal (n, 1) ^ 2 == eye (n).

Если t = -1, возвращает истинную факторизацию Холецкого со строго положительными значениями на главной диагонали.

Если t = 2, возвращает транспонированную и перестановленную версию pascal (n, 1), которая является кубическим корнем единичной матрицы. То есть pascal (n, 2) ^ 3 == eye (n).

См. также: chol.

rosser ()

Возвратить матрицу Россера.

Это сложный тестовый случай, используемый для оценки алгоритмов нахождения собственных значений.

См. также: wilkinson, eig.

toeplitz (c)

toeplitz (c, r)

Возвращает матрицу Топлица, построенную из первого столбца c, и (необязательно) первой строки r.

Если второй аргумент опущен, первая строка принимается равной первому столбцу. Если первый элемент r не равен первому элементу c, используется первый элемент c.

Матрица Топлица, или матрица с постоянной диагональю, имеет одинаковые значения по каждой диагонали. Хотя она и не обязана быть квадратной, часто она таковой является. Матрица Топлица MxN имеет вид:

c(1)  r(2)   r(3)  …  r(n)
c(2)  c(1)   r(2)  … r(n-1)
c(3)  c(2)   c(1)  … r(n-2)
 .     .      .   .      .
 .     .      .     .    .
 .     .      .       .  .
c(m) c(m-1) c(m-2) … c(m-n+1)

См. также: hankel.

vander (c)

vander (c, n)

Возвращает матрицу Вандермонда, у которого предпоследний столбец — c.

Если n указан, он определяет количество столбцов; в противном случае n принимается равным длине c.

Матрица Вандермонда имеет вид:

c(1)^(n-1) … c(1)^2  c(1)  1
c(2)^(n-1) … c(2)^2  c(2)  1
    .     .      .      .    .
    .       .    .      .    .
    .         .  .      .    .
c(n)^(n-1) … c(n)^2  c(n)  1

См. также: polyfit.

wilkinson (n)

Возвращает матрицу Уилкинсона порядка n.

Матрицы Уилкинсона симметричные и треугольные с парами почти, но не точно, равных собственных значений. Они полезны при тестировании поведения и производительности решателей собственных значений.

См. также: rosser, eig.