29.2 Многомерная интерполяция

В Octave есть три функции многомерной интерполяции с аналогичными возможностями. Методы, использующие триангуляцию Делоне, описаны в Интерполяция на рассеянных данных.

zi = interp2 (x, y, z, xi, yi)

zi = interp2 (z, xi, yi)

zi = interp2 (z, n)

zi = interp2 (z)

zi = interp2 (…, method)

zi = interp2 (…, method, extrap)

Двумерная интерполяция.

Интерполировать данные опорного массива x, y, z, чтобы определить zi в координатах xi, yi. Массивы опорных данных x, y могут быть матрицами, как возвращаемыми функцией meshgrid, в этом случае размеры x, y и z должны быть одинаковыми. Если x, y являются векторами, описывающими сетку, тогда length (x) == columns (z) и length (y) == rows (z). В любом случае входные данные должны быть строго монотонными.

Если вызов сделан без x, y и только с одной матрицей опорных данных z, то предполагается 2-мерная область x = 1:columns (z), y = 1:rows (z). Это экономит память, если сетка регулярна и расстояние между точками не имеет значения.

Если вызов сделан с одной матрицей опорных данных z и значением уточнения n, то выполняется интерполяция по сетке, где каждый исходный интервал был рекурсивно разбит на n частей. Это приводит к 2^n-1 дополнительных точкам для каждого интервала в исходной сетке. Если n опущено, используется значение 1. Например, интервал [0,1] с n==2 приводит к уточнённому интервалу с точками в [0, 1/4, 1/2, 3/4, 1].

Метод интерполяции method может быть одним из:

"nearest"

Возвращает ближайшего соседа.

"linear" (по умолчанию)

Линейная интерполяция от ближайших соседей.

"pchip"

Кубический полином Эрмита – сохраняющая форму интерполяция с гладкой первой производной.

"cubic"

Кубическая интерполяция (также как "pchip").

"spline"

Кубическая сплайновая интерполяция – гладкие первая и вторая производные по всей кривой.

extrap – скалярное число. Оно заменяет значения за пределами конечных точек на extrap. Обратите внимание, что если используется extrap, то также должен быть указан method. Если extrap опущено и method равен "spline", то используются экстраполированные значения "spline". В противном случае значение по умолчанию extrap для любого другого method равно "NA".

См. также: interp1, interp3, interpn, meshgrid.

vi = interp3 (x, y, z, v, xi, yi, zi)

vi = interp3 (v, xi, yi, zi)

vi = interp3 (v, n)

vi = interp3 (v)

vi = interp3 (…, method)

vi = interp3 (…, method, extrapval)

Трехмерная интерполяция.

Интерполировать данные опорного массива x, y, z, v, чтобы определить vi в координатах xi, yi, zi. Массивы опорных данных x, y, z могут быть матрицами, как возвращаемыми функцией meshgrid, в этом случае размеры x, y, z и v должны быть одинаковыми. Если x, y, z являются векторами, описывающими кубческую сетку, то length (x) == columns (v), length (y) == rows (v), и length (z) == size (v, 3). В любом случае входные данные должны быть строго монотонными.

Если вызов сделан без x, y, z и только с одной матрицей опорных данных v, то предполагается 3-мерная область x = 1:columns (v), y = 1:rows (v), z = 1:size (v, 3). Это экономит память, если сетка регулярна и расстояние между точками не имеет значения.

Если вызов сделан с одной матрицей опорных данных v и значением уточнения n, то выполняется интерполяция по 3-мерной сетке, где каждый исходный интервал был рекурсивно разбит на n частей. Это приводит к 2^n-1 дополнительным точкам для каждого интервала в исходной сетке. Если n опущено, используется значение 1. Например, интервал [0,1] с n==2 приводит к уточнённому интервалу с точками в [0, 1/4, 1/2, 3/4, 1].

Метод интерполяции method может быть одним из:

"nearest"

Возвращает ближайшего соседа.

"linear" (по умолчанию)

Линейная интерполяция от ближайших соседей.

"cubic"

Кубический полином Эрмита – сохраняющая форму интерполяция с гладкой первой производной (ещё не реализовано).

"spline"

Кубическая сплайновая интерполяция – гладкие первая и вторая производные по всей кривой.

extrapval – скалярное число. Оно заменяет значения за пределами конечных точек на extrapval. Обратите внимание, что если используется extrapval, то также должен быть указан method. Если extrapval опущено и method равен "spline", то используются экстраполированные значения "spline". В противном случае значение по умолчанию extrapval для любого другого method равно "NA".

См. также: interp1, interp2, interpn, meshgrid.

vi = interpn (x1, x2, …, v, y1, y2, …)

vi = interpn (v, y1, y2, …)

vi = interpn (v, m)

vi = interpn (v)

vi = interpn (…, method)

vi = interpn (…, method, extrapval)

Выполнить интерполяцию в n-мерном пространстве, где n – не менее двух.

Каждый элемент n-мерного массива v представляет значение в точке, заданной параметрами x1, x2, …, xn. Параметры x1, x2, …, xn – либо n-мерные массивы того же размера, что и массив v в формате "ndgrid", либо векторы. Параметры y1 и т.д. имеют аналогичный формат x1 и т.д., и они представляют точки, в которых интерполируется массив vi.

Если x1, …, xn опущены, они предполагаются x1 = 1 : size (v, 1), и т.д. Если указан m, то интерполяция добавляет точку посередине между каждой точкой интерполяции. Этот процесс выполняется m раз. Если указан только v, то m предполагается 1.

Метод интерполяции method может быть одним из:

"nearest"

Возвращает ближайшего соседа.

"linear" (по умолчанию)

Линейная интерполяция от ближайших соседей.

"pchip"

Кубический полином Эрмита – сохраняющая форму интерполяция с гладкой первой производной (ещё не реализовано).

"cubic"

Кубическая интерполяция (такая же, как "pchip") (ещё не реализовано).

"spline"

Кубическая сплайновая интерполяция – гладкие первая и вторая производные по всей кривой.

Метод по умолчанию "linear".

extrapval – скалярное число. Оно заменяет значения за пределами конечных точек на extrapval. Обратите внимание, что если используется extrapval, то также должен быть указан method. Если extrapval опущено и method равен "spline", то используются экстраполированные значения "spline". В противном случае значение по умолчанию extrapval для любого другого method равно "NA".

См. также: interp1, interp2, interp3, spline, ndgrid.

Существенное отличие interpn от двух других функций многомерной интерполяции заключается в том, как обрабатываются измерения. Для interp2 и interp3, ось y рассматривается как столбцы матрицы, а ось x – как строки массива. Поскольку Octave индексирует массивы в порядке следования столбцов, первое измерение любого массива – это столбцы, поэтому interpn фактически меняет местами измерения ’x’ и ’y’. Рассмотрим пример:

x = y = z = -1:1;
f = @(x,y,z) x.^2 - y - z.^2;
[xx, yy, zz] = meshgrid (x, y, z);
v = f (xx,yy,zz);
xi = yi = zi = -1:0.1:1;
[xxi, yyi, zzi] = meshgrid (xi, yi, zi);
vi = interp3 (x, y, z, v, xxi, yyi, zzi, "spline");
[xxi, yyi, zzi] = ndgrid (xi, yi, zi);
vi2 = interpn (x, y, z, v, xxi, yyi, zzi, "spline");
mesh (zi, yi, squeeze (vi2(1,:,:)));

где vi и vi2 идентичны. Обращение измерений обрабатывается в функциях meshgrid и ndgrid соответственно. Результат этого кода можно увидеть на рисунке 29.4.

Рисунок 29.4: Демонстрация использования interpn