30.2 Диаграммы Вороного

Диаграмма Вороного или разбиение Вороного для набора точек s в N-мерном пространстве — это разбиение N-мерного пространства, такое, что все точки в v(p), подмножества разбиения, где p — член s, находятся ближе к p, чем к любой другой точке в s. Диаграмма Вороного связана с триангуляцией Делоне набора точек тем, что вершины разбиения Вороного являются центрами описанных окружностей простых многоугольников разбиения Делоне.

voronoi (x, y)

voronoi (x, y, options)

voronoi (…, "linespec")

voronoi (hax, …)

h = voronoi (…)

[vx, vy] = voronoi (…)

Постройте диаграмму Вороного точек (x, y).

Грани Вороного с точками в бесконечности не рисуются.

Аргумент options, который должен быть строкой или массивом строк, содержит параметры, передаваемые команде qhull. Подробности см. в документации библиотеки Qhull http://www.qhull.org/html/qh-quick.htm#options.

Если "linespec" задан, он используется для установки цвета и стиля линии графика.

Если указана дескрипторная переменная осей графики hax, то диаграмма Вороного строится на указанных осях, а не на новом рисунке.

Если запрашивается единственный выходной аргумент, то диаграмма Вороного будет нарисована, а дескрипторная переменная графика h к графику будет возвращена.

[vx, vy] = voronoi (…) возвращает вершины Вороного вместо построения диаграммы.

x = rand (10, 1);
y = rand (size (x));
h = convhull (x, y);
[vx, vy] = voronoi (x, y);
plot (vx, vy, "-b", x, y, "o", x(h), y(h), "-g");
legend ("", "points", "hull");

См. также: voronoin, delaunay, convhull.

[C, F] = voronoin (pts)

[C, F] = voronoin (pts, options)

Вычислите N-мерные грани Вороного.

Входная матрица pts размера [n, dim] содержит n точек в пространстве размерности dim.

C содержит точки граней Вороного. Список F содержит для каждой грани индексы точек Вороного.

Необязательный второй аргумент, который должен быть строкой или массивом строк, содержит параметры, передаваемые команде qhull. Подробности см. в документации библиотеки Qhull http://www.qhull.org/html/qh-quick.htm#options.

Параметры по умолчанию зависят от размерности входных данных:

• 2-D и 3-D: options = {"Qbb"}
• 4-D и выше: options = {"Qbb", "Qx"}

Если options отсутствует или [] то используются параметры по умолчанию. В противном случае options заменяет список параметров по умолчанию. Чтобы добавить пользовательские параметры к параметрам по умолчанию, необходимо повторить параметры по умолчанию в options. Используйте пустую строку, чтобы не передавать аргументов.

См. также: voronoi, convhulln, delaunayn.

Пример использования voronoi:

rand ("state",9);
x = rand (10,1);
y = rand (10,1);
tri = delaunay (x, y);
[vx, vy] = voronoi (x, y, tri);
triplot (tri, x, y, "b");
hold on;
plot (vx, vy, "r");

Результат можно увидеть в рисунке 30.3. Обратите внимание, что описанная окружность одного из треугольников была добавлена на этот рисунок, чтобы прояснить связь между разбиением Делоне и диаграммой Вороного.

Рисунок 30.3: Триангуляция Делоне (синие линии) и диаграмма Вороного (красные линии) случайного набора точек

Дополнительную информацию о размерах граней диаграммы Вороного и о том, какие точки из набора точек находятся в многоугольнике, можно получить с помощью функций polyarea и inpolygon соответственно.

polyarea (x, y)

polyarea (x, y, dim)

Определите площадь многоугольника методом треугольников.

Переменные x и y определяют пары вершин и должны иметь одинаковую форму. Они могут быть векторами или массивами. Если они являются массивами, то столбцы x и y обрабатываются отдельно, и возвращается площадь для каждого.

Если задан необязательный аргумент dim, то polyarea работает по этому измерению массивов x и y.

Пример использования polyarea может быть:

rand ("state", 2);
x = rand (10, 1);
y = rand (10, 1);
[c, f] = voronoin ([x, y]);
af = zeros (size (f));
for i = 1 : length (f)
  af(i) = polyarea (c (f {i, :}, 1), c (f {i, :}, 2));
endfor

Грани диаграммы Вороного с вершиной в бесконечности имеют бесконечную площадь. Упрощенная версия polyarea для прямоугольников доступна с помощью rectint

area = rectint (a, b)

Вычислить площадь или объем пересечения прямоугольников или N-мерных прямоугольных параллелепипедов.

Вычислите площадь пересечения прямоугольников в a и прямоугольников в b. Поддерживаются N-мерные прямоугольные параллелепипеды, в этом случае вычисляется объем или гиперобъем в соответствии с количеством измерений.

Двумерные прямоугольники определяются как [xpos ypos width height] где xpos и ypos — положение левого нижнего угла. Поддерживаются и высшие измерения, где координаты минимального значения каждого измерения следуют за длиной прямоугольника в этом измерении, например, [xpos ypos zpos kpos … width height depth k_length …].

Каждая строка a и b определяет прямоугольник, и если оба определяют несколько прямоугольников, то вывод area — матрица, где i-я строка соответствует i-й строке a, а j-й столбец соответствует j-й строке b.

См. также: polyarea.

in = inpolygon (x, y, xv, yv)

[in, on] = inpolygon (x, y, xv, yv)

Для многоугольника, определенного точками вершин (xv, yv), вернуть true, если точки (x, y) находятся внутри (или на границе) многоугольника; В противном случае вернуть false.

Входные переменные x и y должны иметь одинаковую размерность.

Необязательный вывод on возвращает true, если точки находятся точно на ребре многоугольника, и false в противном случае.

См. также: delaunay.

Пример использования inpolygon может быть:

randn ("state", 2);
x = randn (100, 1);
y = randn (100, 1);
vx = cos (pi * [-1 : 0.1: 1]);
vy = sin (pi * [-1 : 0.1 : 1]);
in = inpolygon (x, y, vx, vy);
plot (vx, vy, x(in), y(in), "r+", x(!in), y(!in), "bo");
axis ([-2, 2, -2, 2]);

Результат можно увидеть в рисунке 30.4.

Рисунок 30.4: Демонстрация функции inpolygon для определения точек внутри многоугольника