28.2 Поиск корней

Octave может находить корни заданного многочлена. Это делается путем вычисления сопутствующей матрицы многочлена (см. функцию compan для определения), а затем нахождения ее собственных значений.

: roots (c)

Вычислить корни многочлена c.

Для вектора c с N компонентами, вернуть корни многочлена

c(1) * x^(N-1) + … + c(N-1) * x + c(N)

В качестве примера, следующий код находит корни квадратного многочлена

p(x) = x^2 - 5.

c = [1, 0, -5];
roots (c)
⇒  2.2361
⇒ -2.2361

Обратите внимание, что истинным результатом является +/- sqrt(5), что примерно равно +/- 2.2361.

См. также: poly, compan, fzero.

: z = polyeig (C0, C1, …, Cl)

: [v, z] = polyeig (C0, C1, …, Cl)

Решить полиномиальную задачу собственных значений степени l.

Учитывая матричный многочлен nxn

C(s) = C0 + C1 s + … + Cl s^l

polyeig решает задачу собственных значений

(C0 + C1 z + … + Cl z^l) v = 0.

Обратите внимание, что собственные значения z являются нулями матричного многочлена. z это строковый вектор с n*l элементами. v это матрица (n x n*l) со столбцами, которые соответствуют собственным векторам.

См. также: eig, eigs, compan.

: compan (c)

Вычислить сопутствующую матрицу, соответствующую вектору коэффициентов многочлена c.

Матрица-компаньон имеет вид

_                                                        _
    |  -c(2)/c(1)   -c(3)/c(1)  …  -c(N)/c(1)  -c(N+1)/c(1)  |
    |       1            0      …       0             0      |
    |       0            1      …       0             0      |
A = |       .            .      .         .             .      |
    |       .            .       .        .             .      |
    |       .            .        .       .             .      |
    |_      0            0      …       1             0     _|

Собственные значения сопутствующей матрицы равны корням многочлена.

См. также: roots, poly, eig.

: [multp, idxp] = mpoles (p)

: [multp, idxp] = mpoles (p, tol)

: [multp, idxp] = mpoles (p, tol, reorder)

Определить уникальные полюса в p и их связанную кратность.

Выход отсортирован от полюса с наибольшим значением до наименьшего.

Если относительная разница между двумя полюсами меньше, чем tol, то они считаются кратными. Значение по умолчанию для tol равно 0,001.

Если необязательный параметр reorder равен нулю, полюса не сортируются.

Вывод multp - это вектор, указывающий кратность полюсов. multp(n) относится к кратности N-го полюса p(idxp(n)).

Например:

p = [2 3 1 1 2];
[m, n] = mpoles (p)
   ⇒ m = [1; 1; 2; 1; 2]
   ⇒ n = [2; 5; 1; 4; 3]
   ⇒ p(n) = [3, 2, 2, 1, 1]

См. также: residue, poly, roots, conv, deconv.