26.4 Корреляционный и регрессионный анализ

: c = cov (x)

: c = cov (x, y)

: c = cov (…, opt)

: c = cov (…, nanflag)

Вычислить ковариационную матрицу.

Ковариация двух векторов переменных A и B вычисляется следующим образом:

cov (a,b) = 1/(N-1) * SUM_i (a(i) - mean (a)) * (b(i) - mean (b))

где N — длина векторов a и b.

При вызове с одним аргументом вычисляется cov (x, x). Если x — вектор, результатом будет скалярная дисперсия x. Если x — матрица, каждая строка x рассматривается как наблюдение, а каждый столбец — как переменная; тогда элемент (i, j) матрицы cov (x) представляет собой ковариацию между i-м и j-м столбцами x. Если размерность x равна n x m, выходная матрица c будет квадратной ковариационной матрицей размера m x m.

При вызове с двумя аргументами вычисляется cov (x, y) — ковариация двух случайных величин x и y. x и y должны содержать одинаковое число элементов; они будут рассматриваться как векторы, а ковариация вычисляться по формуле cov (x(:), y(:)). Результатом будет ковариационная матрица размера 2 x 2.

Необязательный аргумент opt определяет используемый тип нормировки. Допустимые значения:

0 [по умолчанию]:

Нормировать на N-1. Это обеспечивает наилучшую несмещённую оценку ковариации.

1:

Нормировать на N. Это даёт второй центральный момент. При N = 1 аргументу opt присваивается значение 1.

Необязательный аргумент nanflag должен быть последним в списке аргументов и задаёт способ обработки значений NaN функцией cov. Допустимы три значения:

includenan [по умолчанию]:

Оставлять значения NaN в x и y. Результат будет подчиняться обычным правилам обработки значений NaN в арифметических операциях.

omitrows:

Перед вычислением ковариации строки, содержащие значения NaN, удаляются и из x, и из y. Значение NaN в одной переменной приводит к удалению соответствующей строки как из x, так и из y.

partialrows:

При вычислении ковариации каждой пары переменных i и j строки, содержащие значения NaN, независимо исключаются из x и y. В результате для вычисления каждого элемента ковариационной матрицы может использоваться разное число наблюдений N.

Примечание о совместимости: в предыдущих версиях cov строки x и y рассматривались как многомерные случайные величины. Эта версия стремится обеспечить полную совместимость с MATLAB, рассматривая x и y как два одномерных распределения независимо от их формы, что приводит к выходной матрице размера 2x2. При использовании этой новой версии cov код, основанный на прежнем определении Octave, необходимо будет изменить. Прежнее поведение можно получить, используя функцию covm пакета NaN следующим образом: covm (x, y, "D").

См. также: corr.

: r = corr (x)

: r = corr (x, y)

Вычислить матрицу коэффициентов корреляции.

Если каждая строка x и y является наблюдением, а каждый столбец — переменной, элемент (i, j) матрицы corr (x, y) представляет собой корреляцию между i-й переменной в x и j-й переменной в y. Число строк (наблюдений) в x и y должно совпадать.

corr (x,y) = cov (x,y) / (std (x) * std (y))

При вызове с одним аргументом вычисляется corr (x, x) — корреляция между столбцами x.

См. также: cov.

: r = corrcoef (x)

: r = corrcoef (x, y)

: r = corrcoef (…, param, value, …)

: [r, p] = corrcoef (…)

: [r, p, lci, hci] = corrcoef (…)

Вычислить матрицу коэффициентов корреляции.

x — массив, в котором каждый столбец содержит переменную, а каждая строка является наблюдением.

Если задан второй входной аргумент y (того же размера, что и x), вычисляются коэффициенты корреляции между x и y.

param, value — необязательные пары параметров и значений, изменяющие вычисление. Допустимые параметры:

"alpha"

Уровень доверия, используемый для границ доверительного интервала lci и hci. По умолчанию равен 0.05, то есть доверительный интервал составляет 95%.

"rows"

Определяет обработку значений NaN. Допустимые значения: "all", "complete" и "pairwise". Значение по умолчанию — "all". При значении "complete" учитываются только строки без значений NaN. При значении "pairwise" строки без NaN выбираются отдельно для каждой пары переменных.

Выходной аргумент r — матрица коэффициентов корреляции произведения моментов Пирсона для каждой пары переменных.

Выходной аргумент p — матрица попарных p-значений для проверки нулевой гипотезы о том, что коэффициент корреляции равен нулю.

Выходные аргументы lci и hci — матрицы, содержащие соответственно нижние и верхние границы 95%-го доверительного интервала каждого коэффициента корреляции.

См. также: corr, cov, std.

: rho = spearman (x)

: rho = spearman (x, y)

Вычислить ранговый коэффициент корреляции Спирмена rho.

Для двух векторов данных x и y коэффициент rho Спирмена — это коэффициент корреляции рангов x и y.

Если x и y получены из независимых распределений, математическое ожидание rho равно нулю, а дисперсия составляет 1 / (N - 1), где N — длина векторов x и y; асимптотически rho имеет нормальное распределение.

spearman (x) эквивалентно spearman (x, x).

См. также: ranks, kendall.

: tau = kendall (x)

: tau = kendall (x, y)

Вычислить коэффициент tau Кендалла.

Для двух векторов данных x и y общей длины N коэффициент tau Кендалла — это корреляция знаков всех разностей рангов x и y; то есть, если все элементы x и y различны, то

1
tau = -------   SUM sign (q(i) - q(j)) * sign (r(i) - r(j))
      N (N-1)   i,j

где q(i) и r(i) — ранги x и y соответственно.

Если x и y получены из независимых распределений, коэффициент tau Кендалла асимптотически имеет нормальное распределение со средним 0 и дисперсией (2 * (2N+5)) / (9 * N * (N-1)).

kendall (x) эквивалентно kendall (x, x).

См. также: ranks, spearman.