21.2.1 Выражения с диагональными матрицами

Предположим, что D — диагональная матрица. Если M — полноразмерная матрица, то D*M масштабирует строки M. То есть, если S = D*M, то для каждой пары индексов i,j выполняется

S(i,j) = D(i,i) * M(i,j).

Аналогично, M*D выполняет масштабирование столбцов.

Матрица D также может быть прямоугольной, размера m на n, где m != n. Если m < n, то выражение D*M эквивалентно

D(:,1:m) * M(1:m,:),

то есть последние n-m строки M игнорируются. Если m > n, то D*M эквивалентно

[D(1:n,:) * M; zeros(m-n, columns (M))],

то есть к результату добавляются нулевые строки. Аналогично обстоит ситуация с умножением справа M*D.

Выражения D \ M и M / D выполняют обратное масштабирование. Они эквивалентны решению диагональной (или прямоугольной диагональной) системы в смысле наименьших квадратов с минимальной нормой. В точной арифметике это эквивалентно умножению на псевдообратную матрицу. Псевдообратная матрица прямоугольной диагональной матрицы также является прямоугольной диагональной матрицей с переставленными размерами, в которой каждый ненулевой диагональный элемент заменён обратным ему. Для повышения численной точности алгоритмы деления матриц действительно используют деление, а не умножение на обратные значения; в остальном они следуют приведённому выше определению. Обратите внимание, что диагональная матрица никогда не усекается из-за плохой обусловленности; иначе она была бы мало полезна для масштабирования. Обычно это соответствует потребностям линейной алгебры. Полноразмерная матрица, которая просто является диагональной (и поэтому не представляет собой специальный объект), разумеется, обрабатывается обычным образом.

Умножение и деление на диагональные матрицы эффективно работают также в сочетании с разреженными матрицами, то есть D*S, где D — диагональная матрица, а S — разреженная матрица, масштабирует строки разреженной матрицы и возвращает разреженную матрицу. Выражения S*D, D\S, S/D работают аналогично.

Если D1 и D2 — обе диагональные матрицы, то выражения

D1 + D2
D1 - D2
D1 * D2
D1 / D2
D1 \ D2

также дают диагональные матрицы при соблюдении обычных правил согласования размерностей. При этом используются те же соотношения, что и описанные выше.

Кроме того, диагональную матрицу D можно умножить или разделить на скаляр либо возвести в скалярную степень, если она квадратная; во всех случаях результатом будет диагональная матрица.

Диагональную матрицу также можно транспонировать или эрмитово сопрягать, получая ожидаемый результат. Извлечение ведущей подматрицы диагональной матрицы, то есть D(1:m,1:n), приводит к диагональной матрице; при других выражениях индексирования происходит неявное преобразование в полноразмерную матрицу.

При сложении диагональной матрицы с полноразмерной выполняются операции только над диагональными элементами. Таким образом,

A = A + eps * eye (n)

представляет собой эффективный способ изменить диагональ матрицы. Вычитание работает аналогично.

При использовании в выражениях с другими поэлементными операторами, .*, ./, .\ или .^, происходит неявное преобразование в полноразмерную матрицу. Это не всегда строго необходимо, но такое поведение выбрано для большей совместимости с MATLAB.