21.2.2 Выражения, включающие перестановочные матрицы ¶

Если P — перестановочная матрица, а M — матрица, выражение P*M переставит строки M. Аналогично, M*P приведёт к перестановке столбцов. Матричное деление P\M и M/P может быть использовано для выполнения обратной перестановки.

Предыдущий синтаксис для создания перестановочных матриц на самом деле может помочь пользователю понять связь между перестановочной матрицей и вектором перестановки. А именно, справедливо следующее, где I = eye (n) — единичная матрица:

I(p,:) * M = (I*M) (p,:) = M(p,:)

Аналогично,

M * I(:,p) = (M*I) (:,p) = M(:,p)

Выражения I(p,:) и I(:,p) являются перестановочными матрицами.

Перестановочная матрица может быть транспонирована (или сопряжено-транспонирована, что то же самое, поскольку перестановочная матрица никогда не является комплексной), инвертируя перестановку, или, что эквивалентно, превращая матрицу перестановки строк в матрицу перестановки столбцов. Для перестановочных матриц транспонирование эквивалентно инвертированию, следовательно, P\M эквивалентно P'*M. Транспонирование перестановочной матрицы (или обращение) — операция, выполняемая за постоянное время, изменяющая только внутренний флаг, и поэтому выбор между двумя вышеупомянутыми эквивалентными выражениями для обратной перестановки полностью зависит от предпочтений пользователя.

Умножение и деление на перестановочные матрицы эффективно работают и при сочетании с разреженными матрицами, т.е. P*S, где P — перестановочная матрица, а S — разреженная матрица, переставляет строки разреженной матрицы и возвращает разреженную матрицу. Выражения S*P, P\S, S/P работают аналогично.

Две перестановочные матрицы могут быть перемножены или поделены (если их размеры совпадают), выполняя композицию перестановок. Также перестановочная матрица может быть индексирована вектором перестановки (или двумя векторами), что снова даёт перестановочную матрицу. Любые другие операции, как правило, не приводят к перестановочной матрице и, таким образом, вызовут неявное преобразование.