21.2.2 Выражения с матрицами перестановок

Если P — матрица перестановки, а M — матрица, выражение P*M переставит строки M. Аналогично, M*P выполнит перестановку столбцов. Деление матриц P\M и M/P можно использовать для выполнения обратной перестановки.

Описанный ранее синтаксис создания матриц перестановок может помочь понять связь между матрицей перестановки и вектором перестановки. А именно, справедливо следующее, где I = eye (n) — единичная матрица:

I(p,:) * M = (I*M) (p,:) = M(p,:)

Аналогично,

M * I(:,p) = (M*I) (:,p) = M(:,p)

Выражения I(p,:) и I(:,p) являются матрицами перестановок.

Матрицу перестановки можно транспонировать (или эрмитово сопрячь, что равносильно, поскольку матрица перестановки никогда не бывает комплексной), инвертируя перестановку, или, что эквивалентно, превращая матрицу перестановки строк в матрицу перестановки столбцов. Для матриц перестановок транспонирование эквивалентно обращению, поэтому P\M эквивалентно P'*M. Транспонирование матрицы перестановки (или обращение) выполняется за постоянное время: внутри системы изменяется только флаг. Поэтому выбор между двумя приведёнными выше эквивалентными выражениями для обратной перестановки полностью зависит от предпочтений пользователя.

Умножение и деление на матрицы перестановок эффективно работают также в сочетании с разреженными матрицами, то есть P*S, где P — матрица перестановки, а S — разреженная матрица, переставляет строки разреженной матрицы и возвращает разреженную матрицу. Выражения S*P, P\S, S/P работают аналогично.

Две матрицы перестановок можно перемножать или делить (если их размеры совпадают), выполняя композицию перестановок. Кроме того, матрицу перестановки можно индексировать вектором перестановки (или двумя векторами), в результате чего снова получится матрица перестановки. Другие операции, как правило, не дают матрицу перестановки и поэтому вызывают неявное преобразование.