29.2 Многомерная интерполяция

В Octave имеются три функции многомерной интерполяции со схожими возможностями. Методы, использующие триангуляцию Делоне, описаны в разделе Интерполяция по разрозненным данным.

: zi = interp2 (x, y, z, xi, yi)

: zi = interp2 (z, xi, yi)

: zi = interp2 (z, n)

: zi = interp2 (z)

: zi = interp2 (…, method)

: zi = interp2 (…, method, extrap)

Двумерная интерполяция.

Интерполирует числовые опорные данные x, y, z, чтобы определить zi в координатах xi, yi. Опорные данные x, y могут быть матрицами, возвращаемыми функцией meshgrid; в этом случае размеры x, y и z должны совпадать. Если x и y — векторы, описывающие сетку, то length (x) == columns (z) и length (y) == rows (z). В обоих случаях входные данные должны быть строго монотонными.

Если функция вызвана без x и y, только с одной матрицей опорных данных z, предполагается двумерная область x = 1:columns (z), y = 1:rows (z). Это позволяет экономить память, если сетка регулярна и расстояние между точками не имеет значения.

Если функция вызвана с одной матрицей опорных данных z и значением уточнения n, интерполяция выполняется по сетке, в которой каждый исходный интервал рекурсивно подразделяется n раз. В результате в каждом интервале исходной сетки появляется 2^n-1 дополнительных точек. Если n не задано, используется значение 1. Например, для интервала [0,1] при n==2 получается уточнённый интервал с точками [0, 1/4, 1/2, 3/4, 1].

Метод интерполяции method может быть одним из следующих:

"nearest"

Возвращает ближайшего соседа.

"linear" (по умолчанию)

Линейная интерполяция по ближайшим соседям.

"pchip"

Кусочно-кубический интерполяционный полином Эрмита — сохраняющая форму интерполяция с непрерывной первой производной.

"cubic"

Кубическая интерполяция с использованием функции свёрточного ядра — метод третьего порядка с непрерывной первой производной.

"spline"

Кубическая сплайн-интерполяция — первая и вторая производные непрерывны на всей кривой.

extrap — скалярное число. Оно заменяет значения за пределами конечных точек на extrap. Обратите внимание: если используется extrap, необходимо также указать method. Если extrap не задано, а method равно "spline", используются экстраполированные значения "spline". В противном случае для любого другого значения method по умолчанию extrap равно "NA".

См. также: interp1, interp3, interpn, meshgrid.

: vi = interp3 (x, y, z, v, xi, yi, zi)

: vi = interp3 (v, xi, yi, zi)

: vi = interp3 (v, n)

: vi = interp3 (v)

: vi = interp3 (…, method)

: vi = interp3 (…, method, extrapval)

Трёхмерная интерполяция.

Интерполирует числовые опорные данные x, y, z, v, чтобы определить vi в координатах xi, yi, zi. Опорные данные x, y, z могут быть матрицами, возвращаемыми функцией meshgrid; в этом случае размеры x, y, z и v должны совпадать. Если x, y, z — векторы, описывающие кубическую сетку, то length (x) == columns (v), length (y) == rows (v) и length (z) == size (v, 3). В обоих случаях входные данные должны быть строго монотонными.

Если функция вызвана без x, y и z, только с одной матрицей опорных данных v, предполагается трёхмерная область x = 1:columns (v), y = 1:rows (v), z = 1:size (v, 3). Это позволяет экономить память, если сетка регулярна и расстояние между точками не имеет значения.

Если функция вызвана с одной матрицей опорных данных v и значением уточнения n, интерполяция выполняется по трёхмерной сетке, в которой каждый исходный интервал рекурсивно подразделяется n раз. В результате в каждом интервале исходной сетки появляется 2^n-1 дополнительных точек. Если n не задано, используется значение 1. Например, для интервала [0,1] при n==2 получается уточнённый интервал с точками [0, 1/4, 1/2, 3/4, 1].

Метод интерполяции method может быть одним из следующих:

"nearest"

Возвращает ближайшего соседа.

"linear" (по умолчанию)

Линейная интерполяция по ближайшим соседям.

"cubic"

Кусочно-кубический интерполяционный полином Эрмита — сохраняющая форму интерполяция с непрерывной первой производной (пока не реализована).

"spline"

Кубическая сплайн-интерполяция — первая и вторая производные непрерывны на всей кривой.

extrapval — скалярное число. Оно заменяет значения за пределами конечных точек на extrapval. Обратите внимание: если используется extrapval, необходимо также указать method. Если extrapval не задано, а method равно "spline", используются экстраполированные значения "spline". В противном случае для любого другого значения method по умолчанию extrapval равно "NA".

См. также: interp1, interp2, interpn, meshgrid.

: vi = interpn (x1, x2, …, v, y1, y2, …)

: vi = interpn (v, y1, y2, …)

: vi = interpn (v, m)

: vi = interpn (v)

: vi = interpn (…, method)

: vi = interpn (…, method, extrapval)

Выполняет n-мерную интерполяцию, где n не меньше двух.

Каждый элемент числового n-мерного массива v представляет значение в точке, заданной параметрами x1, x2, …, xn. Параметры x1, x2, …, xn представляют собой либо n-мерные массивы того же размера, что и массив v, в формате "ndgrid", либо векторы.

Параметры y1, y2, …, yn задают точки, в которых интерполируется массив vi. Это могут быть векторы одинаковой длины и ориентации; в таком случае они интерпретируются как координаты разрозненных точек. Если их ориентация или длина различаются, они используются для построения сетки в формате "ndgrid". Они также могут быть n-мерными массивами одинакового размера.

Если x1, …, xn не заданы, предполагается, что они равны x1 = 1 : size (v, 1) и т. д. Если задано m, интерполяция добавляет точку посередине между каждой парой интерполяционных точек. Этот процесс выполняется m раз. Если задано только v, предполагается, что m равно 1.

Метод интерполяции method может быть одним из следующих:

"nearest"

Возвращает ближайшего соседа.

"linear" (по умолчанию)

Линейная интерполяция по ближайшим соседям.

"pchip"

Кусочно-кубический интерполяционный полином Эрмита — сохраняющая форму интерполяция с непрерывной первой производной (пока не реализована).

"cubic"

Кубическая интерполяция (аналог "pchip" [пока не реализована]).

"spline"

Кубическая сплайн-интерполяция — первая и вторая производные непрерывны на всей кривой.

Методом по умолчанию является "linear".

extrapval — скалярное число. Оно заменяет значения за пределами конечных точек на extrapval. Обратите внимание: если используется extrapval, необходимо также указать method. Если extrapval не задано, а method равно "spline", используются экстраполированные значения "spline". В противном случае для любого другого значения method по умолчанию extrapval равно NA.

См. также: interp1, interp2, interp3, spline, ndgrid.

Существенное различие между interpn и двумя другими функциями многомерной интерполяции заключается в способе обработки размерностей. Для interp2 и interp3 осью y считаются столбцы матрицы, а оси x соответствуют строки массива. Поскольку Octave индексирует массивы в порядке следования столбцов, первой размерностью любого массива являются столбцы, поэтому interpn фактически меняет местами размерности «x» и «y». Рассмотрим пример:

x = y = z = -1:1;
f = @(x,y,z) x.^2 - y - z.^2;
[xx, yy, zz] = meshgrid (x, y, z);
v = f (xx,yy,zz);
xi = yi = zi = -1:0.1:1;
[xxi, yyi, zzi] = meshgrid (xi, yi, zi);
vi = interp3 (x, y, z, v, xxi, yyi, zzi, "spline");
[xxi, yyi, zzi] = ndgrid (xi, yi, zi);
vi2 = interpn (x, y, z, v, xxi, yyi, zzi, "spline");
mesh (zi, yi, squeeze (vi2(1,:,:)));

где vi и vi2 идентичны. Перестановка размерностей обрабатывается соответственно функциями meshgrid и ndgrid. Результат выполнения этого кода показан на рисунке 29.4.

Рисунок 29.4: Демонстрация использования interpn