25.3 Нелинейное программирование ¶

Octave также может выполнять общее нелинейное минимизирование с использованием решателя последовательного квадратичного программирования.

: [x, obj, info, iter, nf, lambda] = sqp (x0, phi) ¶

: […] = sqp (x0, phi, g) ¶

: […] = sqp (x0, phi, g, h) ¶

: […] = sqp (x0, phi, g, h, lb, ub) ¶

: […] = sqp (x0, phi, g, h, lb, ub, maxiter) ¶

: […] = sqp (x0, phi, g, h, lb, ub, maxiter, tolerance) ¶

Минимизируйте целевую функцию с использованием последовательного квадратичного программирования (SQP).

Решите нелинейную задачу

min phi (x)
 x

при условии

g(x)  = 0
h(x) >= 0
lb <= x <= ub

используя метод последовательного квадратичного программирования.

Первый аргумент — начальное приближение для вектора x0.

Второй аргумент — ссылка на функцию, указывающую на целевую функцию phi. Целевая функция должна принимать один векторный аргумент и возвращать скалярное значение.

Второй аргумент также может быть массивом ячеек из 2 или 3 элементов, содержащим ссылки на функции. Первый элемент должен указывать на целевую функцию, второй — на функцию для вычисления градиента целевой функции, а третий — на функцию для вычисления матрицы Гессе целевой функции. Если функция градиента не указана, градиент вычисляется с помощью конечных разностей. Если функция Гессе не указана, используется формула обновления BFGS для приближения матрицы Гессе.

При предоставлении функция градиента phi{2} должна принимать один векторный аргумент и возвращать вектор. При предоставлении функция Гессе phi{3} должна принимать один векторный аргумент и возвращать матрицу.

Третьи и четвёртые аргументы g и h — ссылки на функции, вычисляющие ограничения равенства и неравенства соответственно. Если задача не имеет ограничений равенства (или неравенства), используйте пустую матрицу ([]) для g (или h). При предоставлении эти функции ограничений равенства и неравенства должны принимать один векторный аргумент и возвращать вектор.

Третьи и четвёртые аргументы также могут быть массивами ячеек из 2 элементов, содержащими ссылки на функции. Первый элемент должен указывать на функцию ограничения, а второй — на функцию для вычисления градиента функции ограничения:

[ d f(x)   d f(x)        d f(x) ]
transpose ( [ ------   -----   ...   ------ ] )
            [  dx_1     dx_2          dx_N  ]

Пятые и шестые аргументы, lb и ub, содержат нижние и верхние границы для x. Они должны быть согласованы с ограничениями равенства и неравенства g и h. Если аргументы являются векторами, то x(i) ограничен lb(i) и ub(i). Граница также может быть скалярной величиной, в этом случае все элементы x будут иметь одну и ту же границу.

Седьмой аргумент maxiter определяет максимальное количество итераций. Значение по умолчанию равно 100.

Восьмой аргумент tolerance определяет допустимость для критерия остановки. Значение по умолчанию — sqrt (eps).

Значение, возвращаемое в info, может быть одним из следующих:

101

Алгоритм завершился нормально. Все ограничения удовлетворяют заданной допустимости.

102

Обновление BFGS не удалось.

103

Было достигнуто максимальное количество итераций.

104

Размер шага стал слишком малым, т.е. дельта x меньше tol * norm (x).

Пример вызова sqp:

function r = g (x)
  r = [ sumsq(x)-10;
        x(2)*x(3)-5*x(4)*x(5);
        x(1)^3+x(2)^3+1 ];
endfunction

function obj = phi (x)
  obj = exp (prod (x)) - 0.5*(x(1)^3+x(2)^3+1)^2;
endfunction

x0 = [-1.8; 1.7; 1.9; -0.8; -0.8];

[x, obj, info, iter, nf, lambda] = sqp (x0, @phi, @g, [])

x =

  -1.71714
   1.59571
   1.82725
  -0.76364
  -0.76364

obj = 0.053950
info = 101
iter = 8
nf = 10
lambda =

  -0.0401627
   0.0379578
  -0.0052227

См. также: qp.