18.1 Методы, используемые в линейной алгебре

Octave включает полиморфный решатель, который выбирает подходящую факторизацию матрицы в зависимости от свойств самой матрицы. Как правило, затраты на определение типа матрицы невелики по сравнению с затратами на саму факторизацию. В любом случае тип матрицы кэшируется после определения, поэтому его не требуется определять заново при каждом использовании матрицы в линейном уравнении.

Дерево выбора способа решения линейного уравнения или вычисления обратной матрицы выглядит следующим образом:

1. Если матрица является верхней или нижней треугольной разреженной матрицей, используйте прямую или обратную подстановку с помощью функции LAPACK xTRTRS и перейдите к пункту 4.
2. Если матрица квадратная, эрмитова и имеет вещественную положительную диагональ, попытайтесь выполнить разложение Холецкого с помощью функции LAPACK xPOTRF.
3. Если разложение Холецкого завершилось неудачно или матрица не является эрмитовой с вещественной положительной диагональю, а матрица квадратная, выполните факторизацию с помощью функции LAPACK xGETRF.
4. Если матрица не квадратная или любой из предыдущих решателей помечает матрицу как сингулярную или близкую к сингулярной, найдите решение методом наименьших квадратов с помощью функции LAPACK xGELSD.

Пользователь может принудительно задать тип матрицы с помощью функции matrix_type. Это позволяет избежать затрат на определение типа матрицы. Однако следует учитывать, что неправильное определение типа матрицы приведёт к непредсказуемым результатам, поэтому функцию matrix_type следует использовать с осторожностью.

Следует учитывать, что проверка пригодности матрицы для разложения Холецкого, выполняемая выше и функцией matrix_type, не гарантирует, что матрица является эрмитовой. Однако попытка факторизации быстро обнаружит неэрмитову матрицу.